第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及答案
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发布时间：2024-05-30 03:07
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时间：2024-06-07 07:48
第十五届北京高中数学知识应用
竞赛决赛试题和参考答案
2012年3月25日
1．（满分16分）2011年国庆期间，上海新世界购物中心策划出一套“积点购物”营销方案．即在活动期间，商品的售价按照一定的比率全部折算成积点，这次全场商品共分为A、B、C三类，一件A类商品的售价（元）与折算成的点数比是1：1，一件B类商品的售价（元）与折算成的点数比是1：1．5，一件C类商品的售价（元）与折算成的点数比是1：1．9．顾客选定商品后，累计积点．顾客按每满500个积点付200元的方式付款．如果积点a不是500的整数倍，a＝500b＋c，其中b为正整数，0＜c＜500．这时有两种付款方式供选择．第一种付款方式是按b＋1个500点支付200（b＋1）元，剩余的500－c点可与再继续购物的积点合用；第二种付款方式是支付200b＋c元．无论哪种付款方式，顾客均在积点购物中得到了优惠．（1）请你算一算，当每一类商品的积点都是500的整数倍时，顾客分别从这三类商品中能得到相当于多少折的优惠？（2）有一位顾客，想买一双靴子、一件呢外套和一条牛仔裤，靴子原价1499元，是A类商品；呢外套原价899元，是B类商品；牛仔裤原价699元，是C类商品．正当她要掏钱按第一种付款方式付款时，一位“黄牛”走过来说：“这样做，你还要绞尽脑汁处理剩余的积点，不如直接按A类4．2折、B类6．2折，C类7．8折将货款给我，没有积分的事了，由我为你去付款，将购货凭证给你，你又省钱又省事．” 请你算一算，用数据说明“黄牛”的用意．解（1）当顾客购买积点时每200元可以买500个积点．他得到的折扣是200／500＝0．4，即 与积点的比率又有所增加，每一元折合积点的倍数分别为A类：1倍，B类：1．5倍，C类：1．9倍．因此顾客购买各类商品时实际得到的优惠分别为A类商品：1×0．4＝4折，B类商品：1．5×0．4＝6折，C类商品：1．9×0．4＝7．6折．（2）根据积点方案，顾客购物的积点是：1499＋899×1．5＋699×1．9＝4175．6，而4175．6＝500×8＋175．6．方案一：付款 200×9＝1800（元），余点数为 500－175．6＝324．4（点），余点数折合人民币 200×324．4÷500＝129．76（元）．方案二：付款200×8＋175．6＝1775．6（元）．“黄牛”的方案：付款1499×0．42＋899× 0．62＋699×0．78＝1732．18（元）．若顾客不再购物，比方案一节省 1800－1732．18＝67．82（元）；比方案二节省 1775．6－1732．18＝43．42（元）．如果顾客为了不浪费“余点”继续购物，购得的东西不见得有用，最后也不见得不再出现舍不得的“余点数”，而且耗费体力和时间．“黄牛”懂得顾客的想法，给了不想继续购物者一定的实惠，而“黄牛”可以积累顾客的余点，从中牟取利益，他从这位顾客处可以赚得129．76－（1800－1732．18）＝61．94（元）．2．（满分16分）2月20日，在新浪网看到，网站为网民提供了不少有趣和实用的生活应用程序，其中的“理财计算器”可以为网民呈现出最佳存款时间组合．下图是程序的一个截图，上图是存款利率表．
四折的优惠．但是各类商品按积点出售时，售价
2012年 第51卷 第5期 数学通报 47
（1）请你根据截图内的信息，判断这个结论是否正确，并给出说明．
（2）如果这个结论不正确，请你通过计算得出最佳组合．
解答（1）这个结论是错误的．根据三年期的利率5％，可以算出两个三年整存整取存款组
合的本利和为：10000（1＋3×5％）2＝13225．00元．这个数值比程序给出的结果要好，这说
（2）存款六年，有多种组合，几乎涉及到了所有的存款利率项目，为此我们先探讨一下有规律性的大小关系．设A为本金数，ai为存i年，pi为相应的利率，f（ai，aj，…，am）为依次经历存入ai，aj，…，am年之后的本利和．则f（ai，aj，…，am）＝A（1＋piai）（1＋pjaj）· …·（1＋pmam）．由此看出本利和只与经历的存期有关，与它们的顺序无关．经计算可得：f（1）＞f（0．5，0．5）＞f（0．5，0．25，0．25）＞f（0．25，0．25，0．25，0．25），f（2）＞f（1，1），f（3）＞f（2，1），f（3，1）＞f（2，2），由此，可得f（3，3）＞f（1，2，3），f（3， 及3年以上的任何存款组合的本利和．这样，只需比较f（3，3）和f（5，1）的大小就可以了，而这已由（1）可知结果．所以，结论是：对于6年存期，最大收益是两个三年期组合．3．（满分16分）2月18日至22日第七届世界草莓大会在北京市昌平区召开，请你根据下面的地图推算出昌平区的面积．解答要点 解法会是多样的，要给出明确的方法，比如，分割求和的方法，按照度量，画出足够细的网格，通过计算网格数得到近似解答；或者图形割补的方法，将这个不规则的图形通过割补拼成近似规范的的图形，再按照度量计算得到近似解答．（昌平区的实际面积是1343平方公里，在方法正确的基础上，与实际数值误差不超过40平方公里即可）
3）＞f（2，2，2），也知道，f（3，3）大于不涉
48数学通报 2012年 第51卷 第5期
4．（满分16分）经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流行进时，所消耗的能量为E＝cv3 T，其中v为行进时相对于河水的速度，T为行进的时间（单位：小时），c为常数．如果水的流速为4km／h，鲑鱼在河中逆流行进200km，问它在怎样的速度下能使消耗的能量最少？解 由已知，鲑鱼相对于河岸的速度v珘＝200，又可以表示为v珘＝v－4，所以T＝200．T v－4于是，E＝cv3 T＝200cv3 （v＞4），即v－4（v珘＋4）3 v珘3＋12v珘2＋48v珘＋64 E＝200c ＝200cv珘 v珘 5．（满分18分）如果有三门高炮独立射击目标，用pi表示“第i门高炮命中目标”的概率，那么“三门高炮都命中目标”的概率就是p1·p2 ·p3，“三门高炮都不命中目标”的概率是（1－p1）（1－p2）（1－p3）．请依据以上的概率计算法则，回答下列问题：如果每门高炮击中敌机的概率是十分之一．（1）用十门高炮一定能击中敌机吗？若认为一定能击中，请说明理由；若认为不一定能，请计算出击中敌机的概率．（2）要想能以不小于0．9的概率击中敌机，至少需设置多少门高炮？
（
2 64 解答 （1）用十门高炮不一定能击中敌机．
＝200cv珘＋12v珘＋48＋）
v珘 因为，P（用十门高炮击中敌机）＝P（十门高
＝200c［（v珘－2）2＋32（v珘＋2）＋44］．2v珘因为v珘＝2既是（v珘－2）2的最小值点，也是 炮中至少有一门击中了敌机）＝1－P（十门高炮都没有击中敌机）＝1－［1－P（第一门高炮击中敌机）］·［1－
v珘＋2）的最小值点，所以当v珘＝2时，即当v P（第二门高炮击中敌机）］·…·［1－2v珘
＝6时，取得E最小＝21600c．2 P（第十门高炮击中敌机）］10
（或者通过求E的导数得结论，E′＝400cv· ＝1－1－1）≈0．6517．
，令E′＝0，得v＝6，当v（v－4）2 ＜6时，E′＜0，当v＞6时，E′＞0，所以v＝6时E取得最小值．）鲑鱼以每小时6km的相对于河水的速度行进时所消耗的能量最少． （2）设至少需要n门高炮就能以不小于0．9的概率击中敌机，则0．9≤P（用n门高炮击中敌机）＝P（n门高炮中至少有一门击中了敌机）＝1－P（n门高炮都没有击中敌机）
10v－6
2012年 第51卷 第5期 数学通报 49
1n 可得S弓形ADBC＝r2［（π－θ）＋sinθcosθ］，记作
＝1－1－）． D AEBC 2 E
即n满足不等式0．9n≤1－0．9＝0．1，解得n≥22．至少需要22门高炮才能以不小于0．9的概率击中敌机．6．（满分18分）初赛时，我们计算了“从密度均匀、薄厚一致、半径为r的圆形纸板上剪下来的开角为2θ的弓形纸板ABD的重心位置”，这个位置是在弓形板的对称轴上距圆心O点的距离为xseg＝2rsin3θ 的点．3θ－sinθcosθ S＝SD－SE＝r2［（π－2θ）＋2sinθcosθ］．根据题意可知，弓形ADBC的重心ZD，弓形AEBC的重心ZE以及月牙的重心Z都应位于直线CD上．如果记它们与圆心O点的距离分别为xD，xE和x，则有xE＜xD＜x．且应用初赛时得到的结论可知2rsin3θ xE＝ －｜OO′｜3θ－sinθcosθ 2r（ sin3θ ），＝ －3cosθ 3θ－sinθcosθ
10 S，S弓形 ＝r（θ－sinθcosθ），记作S，则
2r sin3（π－θ）
xD＝3（π－θ）－sin（π－θ）cos（π－θ）
2rsin3θ
＝．
3注意到SD＝SE＋S，所以
现在有两个半径均为r的圆，圆心分别为点O和O′．A、B为两个圆周的交点．则圆弧ADB和圆弧AEB围成了一个月牙儿的图形ADBE．若设计一种特殊的月牙儿，使得这个月牙儿的重心刚好位于月牙儿的内圆弧AEB的中点E的位置上，这时∠BO′O＝θ，如图所示．请你根据上面得到的弓形板重心的结论，求θ满足的方程．解答 由问题可知，四边形AO′BO是一个边长为r的菱形．∠EO′B＝θ，∠DOB＝π－θ．月牙的图形是由⊙O上的弓形ADB中挖掉⊙O′上的弓形AEB得到的图形，弓形ADB上的∠AOB＝2（π－θ），∠AO′B＝2θ，｜OO′｜＝2rcosθ．S△AO′B＝r2sinθcosθ，S扇形ADBO＝r2（π－θ），S扇形AEBO′＝r2θ． x＝D D E E．S将前面分析的结果代入这个式子，化简后可得x2cosθ（θ－sinθcosθ）． （1）r＝π－2（θ－sinθcosθ）如果月牙的重心位于月牙的内圆弧的E点，则有x＝r－r2cosθ＝r（1－2cosθ），或x （2）＝1－2cos θ．r联立（1）、（2），可得生成这个月牙的扇形的开角θ满足的方程是2cosθ（θ－sinθcosθ）1－2cosθ＝（θ－sinθcosθ）． π－2
（上接第45页）（2tan45°－5）（x－2）－（5tan45°＋2）（y－1）＝0．3x＋7y－13＝0．由例题的求解可以看出，应用本文中所给出的定理解答过已知点与已知直线平行、垂直，特 问题变得非常容易，只需一步就可以得到正确答案．参考文献 1 人民教育出版社．普通高级中学教科书（必修）数学第二册 （上）［ M］．北京：人民教育出版社，2004
S（x－xD）＝SE（xD－xE）．由此可得Sx－Sx
别是与已知直线夹角为任意定值的直线方程，使
