用常数变易法求微分方程y'-y=ex的通解??要过程

发布网友发布时间：2024-05-28 23:41

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热心网友时间：2024-06-01 23:33

求微分方程y'-y=ex的通解
解：为了求这个方程的解，先考虑齐次线性方程：
dy/dx-y=0，即有dy/y=dx，积分之得lny=x+lnC₁，于是得其通解为y=e^(x+lnC₁)=C₁e^x，这里C₁为任意常数。下面用“参数变易法”求原方程的通解。
为此，把C₁换成x的函数u，而令y=ue^x..................(1)
于是dy/dx=(du/dx)e^x+ue^x......................................(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
(du/dx)e^x+ue^x-ue^x=ex
于是得(du/dx)e^x=ex， du=(ex/e^x)dx，
故得u=∫(ex/e^x)dx=e∫(x/e^x)dx=e∫xe^(-x)dx=-e(x+1)e^(-x)+C，再代入(1)中即得原方程的通解：
y=(e^x)[-e(x+1)e^(-x)+C]=-e(x+1)+Ce^x

热心网友时间：2024-06-01 23:33

wjl371116 有必要那么麻烦吗？而且得出的结果还是错的！
易见y'-y=0的解为y=ce^x,由常数变易法，解得y=(x+c)e^x，因此所求方程的通解为y=(x+c)e^x