log3⁷如何证明是无理数?
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发布时间：2024-05-03 20:57
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时间：2024-05-31 15:13
证明3的7次方是无理数，可以使用反证法。
假设3的7次方是有理数，那么它必然可以写成一个有限不循环小数形式或者分数形式。即存在正整数a和b, 使得 3^7=a/b. 因为 b 不能为 0，所以 a 必然是 7 的倍数。但根据 Fermat's Little Theorem（费马小定理） ：如果p 是一个素数并且a 是一个正奇数, 那么 a^(p-1) ≡ 1 (mod p). 这里 p = 3 , a = 7. 所以 7^2 ≡ 1 (mod 3), 但由于 a 是 7 的倍数, 那么这意味着 a^2 ≡ 0 (mod 3). 这显然是不对的。因此原来的假设——3 的 7 次方是有理数——已经被证明错误了。因此 3 的 7 次方必然是无理数
