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双曲线上任意一点p, pm、 pn的乘积?

发布网友 发布时间:2024-05-08 10:45

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热心网友 时间:2024-07-08 21:49

若M、N是双曲线 C′: x 2 a 2 - y 2 b 2 =1(a>0,b>0) 上关于原点对称的两个点,P是双曲线上任意一点,则当直线PM,PN的斜率都存在时,其乘积恒为定值 b 2 a 2 .证明如下: 设P(m,n)是双曲线C′上的任意一点,M(x 0 ,y 0 ),N(-x 0 ,-y 0 )是双曲线上的关于原点对称的两个点. 则 m 2 a 2 - n 2 b 2 =1 , x 20 a 2 - y 20 b 2 =1 , ∴ n 2 - y 20 = b 2 ( m 2 a 2 -1)- b 2 ( x 20 a 2 -1) = b 2 a 2 ( m 2 - x 20 ) . ∴k PM •k PN = n- y 0 m- x 0 • n+ y 0 m+ x 0 = n 2 - y 20 m 2 - x 20 = b 2 a 2 为定值.
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