试举例分析论述:矩阵A对应的齐次方程组与非齐次方程组解之间的关系并...

发布网友发布时间：2024-05-06 06:53

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热心网友时间：2024-06-12 20:25

线性方程组分为齐次线性方程和非齐次方程组。一般n元线性方程组的形式是

向左转|向右转

写成矩阵形式就是AX=B,其中A是系数矩阵（m×n），X与B都是1×m列向量

当B=0时，称为齐次线性方程。

方程的解存性可以看做是用A的列向量能否表示出列向量B的问题，所以当B=0时，至少有一组解即X=0，称之平凡解；而当A列向量线性无关时，仅有零解；线性相关时就有无数组解，但是解空间（向量生成的空间）的维数就等于X维数与A的秩的差（n-r，r为A的秩）；解空间的基称为方程组的基础解系。

当B≠0时，称为非齐次线性方程（B=0的齐次方程组称为与之对应的齐次线性方程组）。与齐次方程组不同，它可能没有解，有解当且仅当A的秩等于AB合并组成的增广矩阵的秩，说直白就是A的列向量可以表示出B，或者A的列向量组与增广矩阵的列向量组等价。而且有解时，解向量组的秩也等于X的维数与A的秩的差。

齐次方程组的解与非齐次方程组的解关系是：非齐次组的解向量等于齐次组的解+非齐次组的一个特解；也就是说只要求出齐次组的解空间的一组基础解系，比如是α1，α2，……，αs，一个非齐次组的特解比如是X1,，那么非齐次组所有解可以表示为：X=X1+C1α1+C2α2+……+Csα，C1，……，Cs为任意常数。所以求非齐次组的通解只需求出其一个特解，再求出对应的齐次组的基础解系即可。

区别是：齐次组的解可以形成线性空间（不空，至少有0向量，关于线性运算封闭）；非齐次组的解不能形成线性空间，因为其解向量关于线性运算不封闭：任何齐次组的解得线性组合还是齐次组的解，但是非齐次组的任意两个解其组合一般不再是方程组的解（除非系数之和为1）而任意两个非齐次组的解的差变为对应的齐次组的解。注意到这一点，就知道，齐次组有基础解系，而非齐次只有通解，不能称为基础解系，因这些解不能生成解空间（线性运算不封闭）。