一三角形ABC的两个角的角平分线长度相等,求证此三角形是一个等腰三角...
发布网友
发布时间：2024-06-03 15:51
共3个回答
热心网友
时间：2024-06-10 22:16
对角平分线有一个性质,就是它分对边的比等于与这两段相邻的三角形边的边长之比.这可以用正弦定理证,此处从略.
现在我们来求a边上的角分线长度m:
设a被该线分为p,q两段,p,q分别与b,c相连
由上面提到的性质,可知p=ab/(b+c),q=ac/(b+c)
对由m及a构成的一对互补的角,应用余弦定理,有:
(pp+mm-bb)/2pm+(qq+mm-cc)/2qm=0,通分化简可得
(p+q)mm=pcc+qbb-pq(p+q).将p,q带入,并注意p+q=a
化简可得m^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2
现在我们让a边b边上的角分线等长,依上面给出的角分线长公式,知
bc*[1-a^2/(b+c)^2]=ac*[1-c^2/(a+c)^2]
移项通分得
(a-b)(a+c)^2*(b+c)^2+aab(a+c)^2-abb(b+c)^2=0 ---(*)
对后面一部分提出ab,将平方展开,得
aab(a+c)^2-abb(b+c)^2
=ab[aaa-bbb+2aac-2bbc+acc-bcc]
=ab(a-b)[aa+ab+bb+2c(a+b)+cc]
代入*式可提出a-b
得(a-b){(a+c)^2*(b+c)^2+ab[aa+ab+bb+2c(a+b)+cc]}=0
后面那一堆里面都是正数,都是正号,所以不可能为0
只有a-b=0,即a=b
同理b=c,故这是等边三角形(题目给的是任意***)
其实从证明过程中可以看到,只要两条角分线等长,就可以断定这是等腰三角形了
几何方法：
这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理。1840年,莱默斯[C.L.Lehmus]在给斯图姆[C.Sturm]的一封信中提出的，他请求给出一个纯几何的证明，斯图姆向许多数学家提到此问题。首先回答的是瑞士大几何学家斯坦纳[J.Steiner]。后来该定理就以斯坦纳--莱默斯定理定理而闻名于世。在1965年的一篇报道中提到该定理约有60多种证法。下面给出两种证法.
己知 在△ABC中，BE,CF是∠B，∠C的平分线，BE=CF。求证:AB=AC.
证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF。
在△BCF和△CBE中，因为BC=BC, BE=CF，∠BCF>∠CBE.
所以 BF>CE。 (1)
作平行四边形BEGF，则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF，连CG，
故△FCG为等腰三角形，所以∠FCG=∠FGC。
因为∠FCE>∠FGE，所以∠ECG<∠EGC。
故得 CE>EG=BF. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。
证法二 在△ABC中，假设∠B≥∠C，则可在CF上取一点F'，使∠F'BE=∠ECF'，这有CF≥CF'。
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中，由A'B≥A'C，得:
∠A'CB≥∠A'BC，即∠C≥(∠B+∠C)/2，故∠B≤∠C。
再由假设∠B≥∠C，即有∠B=∠C。
所以△ABC为等腰三角形。
热心网友
时间：2024-06-10 22:21
根据这定理很容易证出该三角形是等边三角形。
下面是这定理的证明：
设CF、BE交于O
BE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，因为BD=CE，所以等量代换得出：
AB/AE=AC/AD，角A是公共角，所以三角形ACD与ABE相似，所以LACD=LABE，同理LBDC=LBEC，再加上BD=CE，所以三角形BOD全等于三角形OEC，所以OB=OC且LDBE=LECD，OB=OC推出LOBC=LOCB，再等量代换得到LABC=LACB，所以AB=AC
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/9253555.html
热心网友
时间：2024-06-10 22:18
s:s1=bc*h:ba*h
s2:s3=cb*h:ca*h
又s+s1=s2+s3
OK
