刚体力学初步之垂直轴定理和简单转动惯量计算

发布网友发布时间：2024-06-03 16:18

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热心网友时间：2024-06-04 04:42

在刚体力学的探索中，我们已深入探讨了平行轴定理的奥秘。今天，我们将揭示垂直轴定理的精髓，它在特定条件下提供了更简便的计算方法。不同于平行轴定理的广泛适用性，垂直轴定理适用于平面状的刚体。

想象在平面刚体上选定一点O，构建一个正交坐标系统，其中x、y轴与刚体平面平行。任何刚体内的点，距离O的距离记为r，其坐标表达为(x, y)。通过简单的几何推理，我们可以得到转动惯量的表达式：，，

从而得出垂直轴定理的核心内容：。在实际问题中，当面对平面刚体时，使用垂直轴定理能避免复杂的多重积分计算，简化转动惯量的求解过程。

接下来，让我们通过几个实例，直观展示垂直轴定理在简单转动惯量计算中的威力：

对于长为a、宽为b的长方形板，绕其质心垂直于板的轴旋转，我们可将其视为一根长为b的杆，利用已知的转动惯量公式。以长边为x轴，垂直轴定理为我们提供了计算捷径：。同理，得到

对于半径为R的圆盘，围绕其直径旋转，我们依然以圆心为原点，利用对称性得到。由于垂直于直径的转动惯量只需计算，圆盘的转动惯量可通过切分圆环求解，最终得到：

然而，当圆盘绕边缘上一点旋转时，情况就不同了。根据平行轴定理，此时的转动惯量计算会更为复杂，因为需要考虑额外的转换。

下期内容，我们将聚焦于球体的简单转动惯量计算，那里又将是一次更为深入的数学之旅。敬请期待，让我们一同探索刚体世界的更多奥秘。