已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C的切线与AB的延长线交于点E,AD...
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发布时间：2024-07-02 11:43
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时间：2024-08-16 23:50
证：连接AC，CB
∵⊙O中，AB是直径
∴∠ACB=90°（直径对的圆周角90°）
“∵CG⊥AB于G
∴CG²=GA•GB（射影定理）”
【若没有学过射影定理，“”内部分改为
∵CG⊥AB于G
∴∠AGC=∠CGB=90°
∵Rt△CBG中，
∠GBC+∠BCG=90°
∠ACG+∠BCG=90°
∴∠GBC=∠ACG
在△ACG与△CGB中
∠AGC=∠CGB
∠ACG=∠GBC
∴△ACG∽△CGB
∴AG/CG=CG/BG，
即CG²=GA•GB】
∵ED切⊙O于C
∴∠DCA=∠CBG（弦切角等于其所夹的弧对的圆周角）
【弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
（∠ACE为弦切角，∠ACE夹的弧是弧AC，而∠CBA就是弧AC对的圆周角）
可参考：http://baike.baidu.com/view/476788.htm】
∵∠CBA=∠ACG
∴∠ACD=∠ACG
∵AD⊥ED于D
∴∠ADC=∠AGC=90°
在△ADC与△AGC中
∠ACD=∠ACG
∠ADC=∠AGC
AC=AC
∴△ADC≌△AGC
∴CD=GC
∴AG•BG=CD²=GC²
又∵切线DC切⊙O于C，割线DFA交⊙O于F，A
∴DC²=DF•DA（切割线定理或圆幂定理）
∴BG•GA=DF•DA
可参考：http://baike.baidu.com/view/378963.htm
【图在上传中请稍等】
