摩根定律推导过程

发布网友发布时间：2024-07-02 23:18

共1个回答

热心网友时间：2024-11-02 19:38

摩根定律是哥德*猜想解的关键条件之一。哥德*猜想的核心陈述是：任何足够大的偶数都可以表示为两个奇素数之和。这一陈述涉及加法关系a+b，从而允许我们从加法的角度剖析并发现潜在的规律。设想一个偶数M=a+b，其元素集合G可表示为：M=1+(M-1)=2+(M-2)=...=M/2+M/2，共有M/2个元素。随着a趋向无穷大，G中的元素数量也趋向无穷。然而，b的元素不能用自然数值直接表示，而采用尾数序数如∞+1, ∞+2, ∞+3,..., (2∞-1)等。根据加法关系a+b的性质，2∞=1+(2∞-1)=2+(2∞-2)=...=∞+∞，是G中所需表达数值的极限值。在G的M/2个元素中，根据素数和合数的性质，可分类为：素数+素数(p(1,1)、素数+合数(p,H)、合数+合数H(1,1)。为了使求解方法完备，这三大类情况都必须被纳入考虑。因此，解哥德*猜想的方程应为：p(1,1)=G-素数加合数-合数加素数用符号表示即为p(1,1)=G-(p,H)-H(1,1)。
通过上述方程，我们可以了解到，要找到素数+素数的对，需要在G中筛掉(H,p)和H(1,1)这两类元素。这种筛法在辩证法中称为否定之否定。否定之否定原则在数学问题解决中的应用并不仅限于解p(1,1)，它在许多问题中都有所体现。例如，埃拉托色尼筛法p=x-H，就是否定之否定原则的应用。但是，埃拉托色尼筛法无法解出p(1,1)，因为后者是由两个自然数之和构成的元素，而p只是一个自然数之元素，由量变到质变，因此用埃拉托色尼筛法无法解出哥德*猜想。
摩根定律，以其最简单形式A~∩B~=(A∪B)~，告诉我们集合A的补集与集合B的补集的交集等于集合A与集合B的并集的补集。这一定律适用于所有两集合的互补关系，哥德*猜想的解法也不过是摩根定律的具体应用。换句话说，要解哥德*猜想，必须以摩根定律为前提，否则都是错误的。因为只有摩根定律满足两集合并集、交集关系的完备性条件。
例如，如果以x-p为前提，其中的p是不能被确定的素数元素，那么x-p只能是无法确定的自然数堆积，无法进行研究。但摩根定律不同，它是集合论中的一个著名定律，其正确性已经经过验证。以摩根定律作为哥德*猜想解法的前提，是为了确保对哥德*猜想的研究有一个完备的条件，因为哥德*猜想也是加法关系a+b中的集合问题。
为了更清楚地理解摩根定律与哥德*猜想的关系，我们可以举一个例子。假设M=16，那么有16=1+(15)=2+(14)=3+13=(4+12)=5+11=(6+10)=7+(9)=(8+8)。在区间(1,8]中，有合数4、6、8共三个，集合A有元素(4+12)、(6+10)、(8+8)，而集合A~有元素1+(15)、(2+14)、3+13、5+11、7+(9)。在区间[8,16)中，有合数8、9、10、12、14、15共六个，集合B有元素(8+8)、7+(9)、(6+10)、(4+12)、2+(14)、1+(15)，而集合B~有元素3+13、5+11。因此，A~∩B~有元素3+13、5+11共两个，A∪B有元素(8+8)、7+(9)、(6+10)、(4+12)、2+(14)、1+(15)共六个。在M=16中，全域共有a+b元素8个，那么有2=8-6。
摩根定律并不要求集合A或B必须是合数的集合，使用素数进行归纳也是一样的，只是数据互换了一下。但是，由于解的是哥德*猜想，使用合数进行归纳显然更为合理。摩根定律用于归纳加法关系M=a+b中的元素，适用于任何M的值，包括奇数（在奇数情况下p(1,1)=0）。
从摩根定律中，我们可以得知，要解等式左边的A~∩B~，只需对等式右边的(A∪B)~进行求解。在等式左边，A~是A的补集，也就是说，组成A~的元素在区间(1,M/2]中是素数；B~是B的补集，也就是说，组成B~的元素在区间[M/2,M)中是素数；A~∩B~构成了两个奇素数之和。等式右边的A∪B是两个合数的集合之并，(A∪B)~意味着求A∪B的补集。也就是说，在全域G中找出G-A∪B的差集，即筛法。
由于摩根定律适用于所有集合，因此，在针对哥德*猜想时，我们要用特殊的符号来替代：p(1,1)=G-(p,H)-H(1,1)。这是应用摩根定律解哥德*猜想时所采用的符号，实际上，用替代符号所讲述的就是摩根定律，没有其他内容。但是，要解哥德*猜想，必须应用摩根定律，因为只有摩根定律，才符合加法关系a+b的完备性条件。