试写出数列{an}的前n项公式,并用数学归纳法加以证明.

发布网友发布时间：2024-05-14 08:16

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热心网友时间：2024-06-12 02:20

解:(a1)^3+(a2)^3+(a3)^3+...+(an)^3
=(1+2+3+...+n)^2=[n^2(n+1)^2]/4
1'n=1,an=1^3=1^3=1
2'假设当n=k,k＞1,k∈z也成立
ak=(a1)^3+(a2)^3+(a3)^3+...+(ak)^3
=(1+2+3+...+k)^2=[k^2(k+1)^2]/4
3'n＝k+1,
a(k+1)=(a1)^3+(a2)^3+(a3)^3+...+(aK)^3+a(k+1)^3
=[k^2(k+1)^2]/4+a(k+1)^3
=[k^2(k+1)^2]/4+(k+1)^3
=[(k+1)^2(2k+2)^2]/4
∴假设成立
:(a1)^3+(a2)^3+(a3)^3+...+(an)^3
=(1+2+3+...+n)^2=[n^2(n+1)^2]/4

热心网友时间：2024-06-12 02:26

1^3+2^3+ ... + n^3 = (1+2+...+n)^2
(1)当n=1时，1^3=1^2显然成立
(2)假设当n=k时，1^3+2^3+...+k^3=(1+2+..+k)^2成立
则当n=k+1时，1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3 = (1+2+...+k)^2+(k+1)^3
= (k(k+1)/2)^2+(k+1)^3 = (k^2+k)^2/4 + k^3+3k^2 + 3k + 1
= (k^2+3k+2)^2/4 = ((k+1)(k+2)/2)^2=(1+2+..+(k+1))^2
得证