为什么x*[1/ x]≥x*1/ x?
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发布时间：2024-07-03 14:56
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时间：2024-08-08 21:01
[a]表示不大于a的最大整数。
如果x小于0，那么1/x也小于0，而[1/x]≤1/x
所以x*[1/x]≥x*1/x=1（两边同时乘以负数x，不等式变号）
所以当x小于0的时候，不满足不等式。
当x＞0的时候，因为0＜[1/x]≤1/x
所以x*[1/x]≤x*1/x=1（两边同时乘以正数x，不等式不变号）
所以右边的不等号应该是小于等于号才对。
证明左边的不等号。
根据取整函数[a]的定义可知0≤1/x-[1/x]＜1
所以1/x-1＜[1/x]
因为x是正数
所以x（1/x-1）＜x*[1/x]（不等式两边同时乘以正数x，不等号不变号）
即1-x＜x*[1/x]成立
证明完成。
关键是要注意0≤1/x-[1/x]＜1成立
因为[1/x]是不大于1/x的最大整数。
所以1/x-[1/x]就必然小于1，因为如果1/x-[1/x]≥1的话，就说明[1/x]还不是不大于1/x的最大整数，还可以再增大。
