如何将矩阵qr分解?
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发布时间：2024-07-03 05:52
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时间：2024-08-03 11:42
设a为一个n级实矩阵，且|a|≠0，则a=qt。其中q为正交阵，t为上三角阵，且分解唯一。
证明如下：
（1）设a=(aij)，它的n个列向量为α1，...，αn。
由于|a|≠0，所以α1，...，αn线性无关，从而是r^n的一组基。
利用施密特正交化过程，由α1，...，αn可得正交基和标准正交基η1，,,,，ηn：
β1=α1，η1=β1/|β1|；
β2=α2-(α2,η1)η1，η2=β2/|β2|；
......
βn=αn-(αn,η1)η1-...-(αn,η(n-1))η(n-1)，ηn=βn/|βn|。
再将βi=|βi|ηi
(i=1,2,...,n)带入等式左边，移项整理得
α1=t11η1，
α2=t12η1+t22η2，
......
αn=t1nη1+t2nη2+...+tnnηn。
其中tii=|βi|>0,(i=1,2,...,n)，tij=(αj,ηi),(i≠j)，
即a=(α1,...,αn)=(η1,...,ηn)(t11
t12
...
t1n;0
t22
t23
...
t2n;...;0
0
0...
tnn)=qt。
（2）下证唯一性：
若还有q1、t1，也使得a=q1t1=qt，其中q、q1正交，t、t1为主对角元>0的上三角矩阵。
由q1t1=qt得q1^(-1)q=t1t^(-1)
由于q1^(-1)q是正交阵，从而t1t^(-1)也是正交阵，且为上三角阵。
故t1t^(-1)主对角元为±1（由t1、t主对角元为正，故t1t^(-1)主对角元只能为1）且为对角阵。即t1t^(-1)=e，即t1=t。再由t非退化，从而q1=q，即分解唯一，证毕。
