...求一个正交变换X=Py,将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+4x2x3化为标准...
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发布时间：2024-07-04 04:12
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时间：2024-08-11 17:19
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|λE-A| = λ^3-17λ/4, 解得特征值 λ=0，±√17/2.
对于 λ=0， λE-A =
[0 -1/2 0]
[-1/2 0 -2]
[0 -2 0]
行初等变换为
[1 0 4]
[0 1 0]
[0 0 0]
得特征向量 (4, 0, -1)^T, 单位化为 (4/√17, 0, -1/√17)^T；
对于 λ=√17/2， λE-A =
[√17/2 -1/2 0]
[-1/2 √17/2 -2]
[0 -2 √17/2]
行初等变换为
[1 -√17 4]
[0 4 -√17]
[0 0 0]
得特征向量 (1, √17, 4)^T, 单位化为 (1/√34, 1/√2, 4/√34)^T；
对于 λ=-√17/2， λE-A =
[-√17/2 -1/2 0]
[-1/2 -√17/2 -2]
[0 -2 -√17/2]
行初等变换为
[1 √17 4]
[0 4 √17]
[0 0 0]
得特征向量 (1, √17, -4)^T, 单位化为 (1/√34, -1/√2, 4/√34)^T。
取正交矩阵 P =
[4/√17 1/√34 1/√34]
[ 0 1/√2 -1/√2 ]
[-1/√17 4/√34 4/√34]
则有 x=Py 将原二次型化成了标准型
f = (√17/2)(y2)^2 - (√17/2)(y3)^2
