【数学】如何用积分证明正圆台的体积公式
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发布时间：2022-04-21 08:19
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时间：2023-07-17 08:26
如图，直线y=kx+b绕x轴旋转一周即可得到一个正圆台
体积V=∫πy^2dx=∫π(kx+b)^2dx (积分下标是x1,上标是x2)
具体思路是这样的！
热心网友
时间：2023-07-17 08:26
设圆台水平平方，上底半径为R₁, 下底半径为R₂，圆台高为H；
下底圆心为坐标原点，x轴水平向右，y轴垂直向上。
方法：圆盘法 (Disk Method)
在上下底之间的任何高度选一个圆盘，圆盘的半径为r，(R₁< r < R₂)
圆盘的厚度为dy,圆盘的体积是 dV = πr²dy
运用相似三角形的相似比，可得：
H : (R₂- R₁) = y : (R₂- r)
y = (R₂- r)H/(R₂- R₁), dy = -Hdr/(R₂- R₁)
dV = πr²dy = -πHr²dr/(R₂- R₁)
V = -πH/(R₂- R₁)×∫r²dr （r ：R₂→ R₁）
= -⅓πHr³/(R₂- R₁) （r ：R₂→ R₁）
= -⅓【πH/(R₂- R₁)】×【R³₁- R³₂】
= ⅓【πH/(R₂- R₁)】×【R³₂- R³₁】
= ⅓【πH/(R₂- R₁)】×【R₂- R₁】×【R²₁+ R₁R₂+ R²₂】
= ⅓πH【R²₁+ R₁R₂+ R²₂】
热心网友
时间：2023-07-17 08:27
设圆台水平平方，上底半径为R₁,
下底半径为R₂，圆台高为H；
下底圆心为坐标原点，x轴水平向右，y轴垂直向上。
方法：圆盘法
(Disk
Method)
在上下底之间的任何高度选一个圆盘，圆盘的半径为r，(R₁<
r
<
R₂)
圆盘的厚度为dy,圆盘的体积是
dV
=
πr²dy
运用相似三角形的相似比，可得：
H
:
(R₂-
R₁)
=
y
:
(R₂-
r)
y
=
(R₂-
r)H/(R₂-
R₁),
dy
=
-Hdr/(R₂-
R₁)
dV
=
πr²dy
=
-πHr²dr/(R₂-
R₁)
V
=
-πH/(R₂-
R₁)×∫r²dr
（r
：R₂→
R₁）
=
-⅓πHr³/(R₂-
R₁)
（r
：R₂→
R₁）
=
-⅓【πH/(R₂-
R₁)】×【R³₁-
R³₂】
=
⅓【πH/(R₂-
R₁)】×【R³₂-
R³₁】
=
⅓【πH/(R₂-
R₁)】×【R₂-
R₁】×【R²₁+
R₁R₂+
R²₂】
=
⅓πH【R²₁+
R₁R₂+
R²₂】
热心网友
时间：2023-07-17 08:27
设圆台水平平方，上底半径为R₁,
下底半径为R₂，圆台高为H；
下底圆心为坐标原点，x轴水平向右，y轴垂直向上。
方法：圆盘法
(Disk
Method)
在上下底之间的任何高度选一个圆盘，圆盘的半径为r，(R₁<
r
<
R₂)
圆盘的厚度为dy,圆盘的体积是
dV
=
πr²dy
运用相似三角形的相似比，可得：
H
:
(R₂-
R₁)
=
y
:
(R₂-
r)
y
=
(R₂-
r)H/(R₂-
R₁),
dy
=
-Hdr/(R₂-
R₁)
dV
=
πr²dy
=
-πHr²dr/(R₂-
R₁)
V
=
-πH/(R₂-
R₁)×∫r²dr
（r
：R₂→
R₁）
=
-⅓πHr³/(R₂-
R₁)
（r
：R₂→
R₁）
=
-⅓【πH/(R₂-
R₁)】×【R³₁-
R³₂】
=
⅓【πH/(R₂-
R₁)】×【R³₂-
R³₁】
=
⅓【πH/(R₂-
R₁)】×【R₂-
R₁】×【R²₁+
R₁R₂+
R²₂】
=
⅓πH【R²₁+
R₁R₂+
R²₂】
