怎样求参数方程参数的范围
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发布时间：2022-04-30 20:04
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时间：2023-11-01 02:23
参数方程参数的范围可用以下三种方法：
1、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆x²a²+y²b²=1上的点P（x,y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，可利用这些范围来构造不等式求解，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再求解。这是解决变量取值范围的方法。
2、利用判别式构造不等式
在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解。
3、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式
曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0；可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题。
例1：
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0) ，求证:-a2-b2a≤x0≤a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.
解:设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得:y2-y1x2-x1=-b2a2•x2+x1y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y-y1+y22=-x2-x1y2-y1(x-x1+x22)
令y=0得x0=x1+x22•a2-b2a2
又∵A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点
∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a
∴-a2-b2a≤x0≤a2-b2a
扩展资料：
参数方程的应用：
在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。
柯西中值定理
如果函数f(x）及F(x）满足：
1、在闭区间[a,b]上连续；
2、在开区间(a,b)内可导；
3、对任一x∈(a,b),F'(x）≠0。
那么在(a,b)内至少有一点ζ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'（ζ）/F'（ζ）成立。
柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函数。
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时间：2023-11-01 02:24
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2+y2b2=1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)
求证:-a2-b2a≤x0≤a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.
解:设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得:y2-y1x2-x1=-b2a2�6�1x2+x1y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y-y1+y22=-x2-x1y2-y1(x-x1+x22)
令y=0得x0=x1+x22�6�1a2-b2a2
又∵A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点
∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a
∴-a2-b2a≤x0≤a2-b2a
例2.如图,已知△OFQ的面积为S,且OF�6�1FQ=1,若12<S<2,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.
解:依题意有
∴tanθ=2S
∵12<S<2∴1<tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4<θ<p>
例3.对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是()
Aa<0Ba≤2C0≤a≤2D0<2<p>
分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a|求解.
解:设Q(y024,y0)由|PQ|≥a
得y02+(y024-a)2≥a2即y02(y02+16-8a)≥0
∵y02≥0∴(y02+16-8a)≥0即a≤2+y028恒成立
又∵y02≥0
而2+y028最小值为2∴a≤2选(B)
利用判别式构造不等式
在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.
例4.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是()
A[-12,12]B[-2,2]C[-1,1]D[-4,4]
分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0
解:依题意知Q坐标为(-2,0),则直线L的方程为y=k(x+2)
由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0
∵直线L与抛物线有公共点
∴△≥0即k2≤1解得-1≤k≤1故选(C)
例5.直线L:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.
分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.
解：由得(k2-2)x2+2kx+2=0
∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则
解得-2<-2<p>
利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式
曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.
例6.已知椭圆2x2+y2=a2(a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a的取值范围.
分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.
解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。
当A、B同时在椭圆内，则
解得a>17
当A、B同时在椭圆外，则
解得0<6<p>
综上所述，解得0<6或a>17
例7.若抛物线y2=4mx(m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围.
分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.
解：∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部，
∴(m-2m)2+(0-1)2<4即m2<3
又∵m≠0
∴-3<0或0<3<p>
利用三角函数的有界性构造不等式
曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。
例8.若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,
求实数a的取值范围.
分析:利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.
解：设椭圆的参数方程为(θ为参数)
代入x2=2y得
4cos2θ=2(a+sinθ)
∴a=2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+14)2+178
又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178
例9.已知圆C：x2+(y-1)2=1上的点P(m,n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围
分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.
解：∵点P在圆上，∴m=cosβ,n=1+sinβ(β为参数)
∵m+n=cosβ+1+sinβ=2sin(β+π4)+1
∴m+n最小值为1-2，
∴-(m+n)最大值为2-1
又∵要使得不等式c≥-(m+n)恒成立
∴c≥2-1
利用离心率构造不等式
我们知道，椭圆离心率e∈(0,1)，抛物线离心率e=1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.
例10.已知双曲线x2-3y2=3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.
分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.<p>
解：依题意得F的坐标为(2,0)，L:x=32
设椭圆中心为(m,0)，则m-2=c和m-32=a2c
两式相除得:m-2m-32=c2a2=e2
∵0<1，∴0<1,解得m>2，
又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，
∴0=km+3,即m=-3k,
∴-3k>2，解得-32<0<p>
上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。
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时间：2023-11-01 02:24
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2+y2b2=1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)
求证:-a2-b2a≤x0≤a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.
解:设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得:y2-y1x2-x1=-b2a2??x2+x1y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y-y1+y22=-x2-x1y2-y1(x-x1+x22)
令y=0得x0=x1+x22??a2-b2a2
又∵A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点
∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a
∴-a2-b2a≤x0≤a2-b2a
例2.如图,已知△OFQ的面积为S,且OF??FQ=1,若12<S<2,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.
解:依题意有
∴tanθ=2S
∵12<S<2∴1<tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4<θ<p>
例3.对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是()
Aa<0Ba≤2C0≤a≤2D0<2<p>
分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a|求解.
解:设Q(y024,y0)由|PQ|≥a
得y02+(y024-a)2≥a2即y02(y02+16-8a)≥0
∵y02≥0∴(y02+16-8a)≥0即a≤2+y028恒成立
又∵y02≥0
而2+y028最小值为2∴a≤2选(B)
利用判别式构造不等式
在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.
例4.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是()
A[-12,12]B[-2,2]C[-1,1]D[-4,4]
分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0
解:依题意知Q坐标为(-2,0),则直线L的方程为y=k(x+2)
由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0
∵直线L与抛物线有公共点
∴△≥0即k2≤1解得-1≤k≤1故选(C)
例5.直线L:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.
分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.
解：由得(k2-2)x2+2kx+2=0
∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则
解得-2<-2<p>
利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式
曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.
例6.已知椭圆2x2+y2=a2(a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a的取值范围.
分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.
解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。
当A、B同时在椭圆内，则
解得a>17
当A、B同时在椭圆外，则
解得0<6<p>
综上所述，解得0<6或a>17
例7.若抛物线y2=4mx(m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围.
分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.
解：∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部，
∴(m-2m)2+(0-1)2<4即m2<3
又∵m≠0
∴-3<0或0<3<p>
利用三角函数的有界性构造不等式
曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。
例8.若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,
求实数a的取值范围.
分析:利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.
解：设椭圆的参数方程为(θ为参数)
代入x2=2y得
4cos2θ=2(a+sinθ)
∴a=2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+14)2+178
又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178
例9.已知圆C：x2+(y-1)2=1上的点P(m,n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围
分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.
解：∵点P在圆上，∴m=cosβ,n=1+sinβ(β为参数)
∵m+n=cosβ+1+sinβ=2sin(β+π4)+1
∴m+n最小值为1-2，
∴-(m+n)最大值为2-1
又∵要使得不等式c≥-(m+n)恒成立
∴c≥2-1
利用离心率构造不等式
我们知道，椭圆离心率e∈(0,1)，抛物线离心率e=1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.
例10.已知双曲线x2-3y2=3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.
分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.<p>
解：依题意得F的坐标为(2,0)，L:x=32
设椭圆中心为(m,0)，则m-2=c和m-32=a2c
两式相除得:m-2m-32=c2a2=e2
∵0<1，∴0<1,解得m>2，
又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，
∴0=km+3,即m=-3k,
∴-3k>2，解得-32<0<p>
上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。
热心网友
时间：2023-11-01 02:25
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时间：2023-11-01 02:25
