级数收敛性的一道证明题

发布网友发布时间：2022-04-30 18:34

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热心网友时间：2022-05-04 11:50

收敛半径就是R1.

对任意x满足|x| < R1, ∑an·x^n与∑bn·x^n都是绝对收敛的, 于是∑(an+bn)x^n也绝对收敛.
其收敛域包含(-R1,R1), 故收敛半径 ≥ R1.

对任意x满足R2 > |x| > R1, 由∑bn·x^n的收敛半径为R2, 有lim{n→∞} bn·x^n = 0.
而由∑an·x^n的收敛半径为R1, 有limsup{n→∞} |an|^(1/n) = 1/R1.
于是limsup{n→∞} |an·x^n|^(1/n) > |x|/R1 > 1, n→∞时an·x^n不能收敛到0.
因此n→∞时(an+bn)·x^n不能收敛到0, ∑(an+bn)x^n不可能收敛.
故∑(an+bn)x^n的收敛半径 ≤ R1.

综合得∑(an+bn)x^n的收敛半径 = R1.

热心网友时间：2022-05-04 13:08