已知椭圆上一点和离心率求椭圆方程方程会联立但怎么解啊
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发布时间：2022-04-30 19:31
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时间：2022-06-30 05:09
椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，c^2=a^2-b^2,
则椭圆离心率e=c/a，c=ea，c^2=e^2a^2,代入上式得
e^2a^2=a^2-b^2,a^2-e^2a^2=b^2,a^2(1-e^2)=b^2,a^2=b^2/(1-e^2),
如果已知椭圆上一点（m,n），将该点坐标代入椭圆方程得：
m^2/a^2+n^2/b^2=1，整理得：m^2/a^2=1-n^2/b^2=(b^2-n^2)/b^2,
a^2/m^2=b^2/(b^2-n^2)，a^2=m^2b^2/(b^2-n^2)，
与前面根据离心率推得的a^2=b^2/(1-e^2)联立方程组可得：
m^2b^2/(b^2-n^2)=b^2/(1-e^2),
m^2/(b^2-n^2)=1/(1-e^2)
b^2-n^2=(1-e^2)m^2
b^2=(1-e^2)m^2+n^2
所以a^2=b^2/(1-e^2)=[(1-e^2)m^2+n^2]/(1-e^2)=m^2+n^2/(1-e^2)
将a^2、b^2的值代入前设椭圆方程即得解：
所求椭圆方程为x^2/[m^2+n^2/(1-e^2)]+y^2/[(1-e^2)m^2+n^2]＝1.
