请写3个证明勾股定理的方法
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发布时间：2022-04-30 07:13
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时间：2022-06-18 22:45
做8全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别a、b，斜边长c，再做三个边长分别a、b、c的正方形，把它们像图那样拼成两个正方形.
从图可以看到，这两个正方形的边长都a + b，所以面积相等. 即
， 整理 .
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 直角边，以c斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点条直线上，b、f、c三点在条直线上，c、g、d三点在条直线上.
∵ rtδhae ≌ rtδebf,
∴ ∠ahe = ∠bef.
∵ ∠aeh + ∠ahe = 90º,
∴ ∠aeh + ∠bef = 90º.
∴ ∠hef = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形efgh是个边长为c的
正方形. 它的积等于c2.
∵ rtδgdh ≌ rtδhae,
∴ ∠hgd = ∠eha.
∵ ∠hgd + ∠ghd = 90º,
∴ ∠eha + ∠ghd = 90º.
∵ ∠ghe = 90º,
∴ ∠dha = 90º+ 90º= 180º.
∴ abcd是个边长为a + b的正方形，它的积等于 .
∴ . ∴ .
【证法3】（赵爽证明）
以a、b 直角边（b>a）， 以c斜
边作四全等的直角三角形，则每直角
三角形的面积等于 . 把四直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ rtδdah ≌ rtδabe,
∴ ∠hda = ∠eab.
∵ ∠had + ∠had = 90º，
∴ ∠eab + ∠had = 90º，
∴ abcd是个边长为c的正方形，它的积等于c2.
∵ ef = fg =gh =he = b―a ,
∠hef = 90º.
∴ efgh是个边长为b―a的正方形，它的面积等 .
∴ .
∴ .
【证法4】（1876年美总统garfield证明）
以a、b 直角边，以c斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在条直线.
∵ rtδead ≌ rtδcbe,
∴ ∠ade = ∠bec.
∵ ∠aed + ∠ade = 90º,
∴ ∠aed + ∠bec = 90º.
∴ ∠dec = 180º―90º= 90º.
∴ δdec个等腰直角三角形，
它的积等于 .
又∵ ∠dae = 90º, ∠ebc = 90º,
∴ ad‖bc.
∴ abcd是个直角梯形，它的面积等于 .
∴ .
∴ .
【证法5】（梅文鼎证明）
做四全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别a、b ，斜边长c. 把它们拼成如图那样的个多边形，使d、e、f在条直线上. 过c作ac的延长线交df点p.
∵ d、e、f在条直线上, 且rtδgef ≌ rtδebd,
∴ ∠egf = ∠bed，
∵ ∠egf + ∠gef = 90°，
∴ ∠bed + ∠gef = 90°，
∴ ∠beg =180º―90º= 90º.
∵ ab = be = eg = ga = c，
∴ abeg个边长为c的正方形.
∴ ∠abc + ∠cbe = 90º.
∵ rtδabc ≌ rtδebd,
∴ ∠abc = ∠ebd.
∴ ∠ebd + ∠cbe = 90º.
即 ∠cbd= 90º.
∵ ∠bde = 90º，∠bcp = 90º，
bc = bd = a.
∴ bdpc是个边长为a的正方形.
同理，hpfg是个边长为b的正方形.
设边形ghcbe的面积s，则
,
∴ .
【证法6】（项明达证明）
做全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别a、b（b>a） ，斜边长c. 再做个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点条直线上.
过点q作qp‖bc，交ac于点p.
点b作bm⊥pq，垂足m；再过点
f作fn⊥pq，垂足n.
∵ ∠bca = 90º，qp‖bc，
∴ ∠mpc = 90º，
∵ bm⊥pq，
∴ ∠bmp = 90º，
∴ bcpm是个矩形，即∠mbc = 90º.
∵ ∠qbm + ∠mba = ∠qba = 90º，
∠abc + ∠mba = ∠mbc = 90º，
∴ ∠qbm = ∠abc，
∵ ∠bmp = 90º，∠bca = 90º，bq = ba = c，
∴ rtδbmq ≌ rtδbca.
同理证rtδqnf ≌ rtδaef.
从而将问题转化【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（欧几里证明）
做三个边长分别a、b、c的正方形，把它拼成如图所示形状，使h、c、b三点在条直线上，连结
bf、cd. 过ccl⊥de，
交ab点m，交de点
l.
∵ af = ac，ab = ad，
∠fab = ∠gad，
∴ δfab ≌ δgad，
∵ δfab的积等于 ，
δgad的积等于矩形adlm
的面积的半，
∴ 矩形adlm的积 = .
同理证，矩形mleb的面积 = .
∵ 正方形adeb的积
= 矩形adlm的积 + 矩形mleb的积
∴ ，即 .
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时间：2022-06-18 22:46
勾股定理
勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理：
英文译法：Pythagoras' Theorem
在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²
据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。
在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表*刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。
勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。（※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。）
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
如此等等。
【附录】
一、【《《周髀算经》·》简介】
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
解：勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
a2+b2=c2
说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25
则说明斜边为5。
热心网友
时间：2022-06-18 22:46
偶们今天老师刚讲的~~
1.利用勾股定理的逆定理
2.在三角形中,有一个角等于90度
3.在三角形中,有两个角互余
3种~~!!~~
