一数学几何难题
发布网友
发布时间：2023-11-16 15:15
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热心网友
时间：2024-12-05 23:18
不过能查出来
解法一：（1）证明：连结AC交BD于O.连结EO.
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.
在△PAC中，EO是中位线，
∴PA‖EO.
而EO平面EDB且PA平面EDB，
∴PA‖平面EDB.
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC.
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形.而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC. ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC.
而DE平面PDC，∴BC⊥DE. ②
由①和②推得DE⊥平面PBC.
而PB平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD.
（3）解：由（2）知PB⊥DF，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角.
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a，BD=a，
PB==a，
PC==a，
DE=PC=a.
在Rt△PDB中，
DF===a.
在Rt△EFD中，
sin∠EFD===，
∴∠EFD=.
∴二面角C—PB—D的大小为.
解法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设DC=a.
（1）证明：连结AC交BD于G.连结EG.
依题意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，，）.
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为（，，0）且=（a，0，－a）， =（，0，－）.
∴=2.这表明PA‖EG.
而EG平面EDB且PA平面EDB，
∴PA‖平面EDB.
（2）证明：依题意得B（a，a，0），
=（a，a，－a）.
又=（0，，），
故·=0+－=0.
∴PB⊥DE.
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，
∴PB⊥平面EFD.
（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0）， =λ，则（x0，y0，z0－a）=λ（a，a，－a）.
从而x0=λa，y0=λa，z0=（1－λ）a.
∴ =（－x0，－y0，－z0）=〔－λa，（－λ）a，（λ－）a〕.
由条件EF⊥PB知·=0，即
－λa2+（－λ）a2－（λ－）a2=0，
解得λ=.
∴点F的坐标为（，，），且=（－，，－）， =（－，－，－）.∴·=－－+=0，即PB⊥FD.
故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角.
∵·=－+=，且||=·a，||=·a，
∴cos∠EFD==.
∴∠EFD=.∴二面角C—PB—D为.
热心网友
时间：2024-12-05 23:18
连接EO
因为E是E是PC的中点,根据正方形的特点可知O也是AC的中点
则EO是三角形的中位线
PA//EO 则PA // 面EDB
