实对称矩阵的特征向量相互正交?为什么?通俗一点的说~

发布网友发布时间：2022-05-01 01:07

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热心网友时间：2022-06-21 16:51

应该说是：实对称阵属于不同特征值的的特征向量是正交的。
设Ap=mp,Aq=nq,其中A是实对称矩阵，m,n为其不同的特征值，p,q分别为其对应得特征向量.
则p1(Aq)=p1(nq)=np1q
(p1A)q=(p1A1)q=(AP)1q=(mp)1q=mp1q
因为p1(Aq)= (p1A)q
上两式作差得：
(m-n)p1q=0
由于m不等于n,所以p1q=0
即(p,q)=0,从而p,q正交.
说明：p1表示p的转置，A1表示A的转置，(Ap)1表示Ap的转置

热心网友时间：2022-06-21 16:51

应该说是：实对称阵属于不同特征值的的特征向量是正交的。

设Ap=mp,Aq=nq,其中A是实对称矩阵，m,n为其不同的特征值，p,q分别为其对应得特征向量.

则p1(Aq)=p1(nq)=np1q

(p1A)q=(p1A1)q=(AP)1q=(mp)1q=mp1q

因为p1(Aq)= (p1A)q

上两式作差得：

(m-n)p1q=0

由于m不等于n,所以p1q=0

即(p,q)=0,从而p,q正交.

说明：p1表示p的转置，A1表示A的转置，(Ap)1表示Ap的转置

扩展资料

同一特征值的特征向量的线性和（非0）也为该特征值特征向量，特征值3可以有两个不共线特征向量，从上面一句看出，可以有正交的两个特征向量。

实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。