为什么圆锥的体积公式是圆柱的三分之一？这个结论是什么推出来的？要严密精确的推导，不是用倒水实验的方
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发布时间：2022-04-30 22:08
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时间：2023-10-05 03:07
每份高 h/k,
第 n份半径：n*r/k
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以
V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3追问为什么我早就知道了并且毫不怀疑地就接受了这个结论，而到了这么多年以后才发现自己其实对此根本不懂呢？你的答案看起来好难的样子，pi是代表什么？太抽象了，想象不出来，我觉得想像中，如果是把圆锥分成k份的话，那么除了最上面的那一份是一个圆锥的形状，而其他的下面的都应该是有两个底面积，有两个大小不同的面积和半径的，为什么说第n份的半径是n乘以r除以k呢？为什么呢？太不直观了，总体积为什么是（1+2+3+...+n）份呢？
追答pi就是π，圆周率。
另一个推导方法是:
取一个四棱锥（底面是四边形的钉子状或楔子状的物体；一个面是四边形、另四个面是三角形的物体），
再取2个同样的四棱锥，可完整的拼成一个完整恰好的平行六面体（被拉斜了的长方体），
这个平行六面体的底面积与高与四棱锥相等，其体积为：底面积×高（上下底面的距离），
所以原来的四棱锥的体积为V=底面积×高/3。
而圆锥相当于底面变成了圆的无限多棱锥，因此类推，其体积也是等底等高的圆柱的1/3。
参考资料：百度
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时间：2023-10-05 03:07
