求下列函数的连续区间,并求极限,,需要过程谢谢必采纳
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发布时间：2022-05-01 00:15
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时间：2022-06-21 05:59
求函数f(x)=(x³+3x²-x-3)/(x²+x-6)的连续区间，
并求极限x→0，x→2，x→3的极限。
解：分母(x²+x-6)≠0，即(x-2)(x+3)≠0，所以x≠2，x≠-3，
∴定义域为 x∈(-∞，-3)∪(-3,2)∪(2，+∞)
初等函数在定义域内是连续的，
所以(-∞，-3)∪(-3,2)∪(2，+∞)是函数f(x)的连续区间。
在连续区间内函数的极限值等于函数值，所以
lim(x→0)f(x)=f(0)=(-3)/(-6)=1/2,
lim(x→3)f(x)=f(3)=(27+27-3-3)/(9+3-6)=8,
当x→2时，分子部分=(x³+3x²-x-3)→8+12-2-3=15为有界变量，
分母部分=(x²+x-6)=(x-2)(x+3)→0为无穷小量，
有界变量除以无穷小量极限为无穷大，
所以lim(x→2-)f(x)=-∞，lim(x→2+)f(x)=+∞，
所以当x→2时，f(x)的极限不存在。追问不是不好意思
