求解这道泛函分析关于距离的题目
发布网友
发布时间：2022-04-30 03:04
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时间：2023-10-09 06:04
(1)显然有：
(i)ρ(x,y)≥0,且ρ(x,y)=0当且仅当x=y
(ii)ρ(x,y)=ρ(y,x)
(iii)设a,b,c为任意三个数，
而最后一式显然成立，
故对x,y,z∈S，
所以ρ是S上的一个距离。
(2)xn依ρ收敛于x：对于任意ε‘>0，存在N，当n>N时，
其中为xn的第k个坐标。由于级数每项均为非负，所以
对任意k和ε>0,当n>N时，取，
有：成立。因此xn依坐标收敛于x。
反之xn依坐标收敛于x，对任意ε‘>0，存在N’，当n>N‘时，
此外级数
而后者是一个收敛级数，再由原级数非负，得原级数收敛，故存在K，使
再取ε’=ε/2K，于是
从而
所以xn依ρ收敛于x
因此依ρ收敛与依坐标收敛等价
