如何进行余弦分析,有教程吗?
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发布时间：2022-04-30 02:15
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时间：2022-06-28 22:29
漫谈高中数学学习观
给BIABIA
一 什么是数学
1 数学定义的多样性
数学是量的科学 亚里士多德
数学是处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学 培根
凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关 笛卡儿
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学 恩格斯
数学是处理无限的科学 希尔伯特
数学是研究抽象结构的科学 布尔巴基
数学是研究世界中的关系的科学 关肇直
数学已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性 美国学者
在数学发展的不同时期，数学家们给出不同的定义。但可以看出数学定义总是跟在数学发展的后面，都带有片面性，仅反映了数学的一个或几个侧面，总有一种盲人摸象的感觉，从另一个方面也说明数学生命力之强.
2 数学的思想方法
首先我们来看一个小幽默：一天，数学家觉得自己受够了数学，于是他跑到消防队想当消防员。消防队长说：“您看上去不错，可是我得先做一个测试。” 队长带数学家到消防队后院小巷，小巷里有一个货栈，一个消防栓和一卷软管。消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？” 数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙头，把火浇灭。” 队长说：“完全正确！再一个问题：假设货栈没起火，怎么办？”数学家思索了半天答道：“我就把货栈点着。” 消防队长大叫起来：“太可怕了！为什么？” 数学家说：“我总是把问题转化为一个我已经解决过的问题。”很有趣吧，想一想，数学的思想方法就是这样，数学的思想方法有：集合对应、逻辑划分、函数方程、数形结合等等，其核心思想是转化 ，具体办法是化归法。结合例题进一步说明，例1 将一三角形铁板截出尽可能大的正方形铁板，如何截取？首先将它归结为几何问题：求作已知三角形的最大内接正方形。为求得此正方形，我们来分析所求正方形与已知三角形的关系：
设BC= a ，高AD= h ，正方形边长为 x，
则 = 即 x=
这样可作出内接正方形EFGH
由三角形性质知：若三边分别为a、b、c，三高线分别为 ， ， 且a≤ b ≤c ， 则a = b = c =2s ，
a + ≤b+ ≤c+
由此可知，在最小边上的内接正方形面积最大，其思维过程是：
数学化 代数化
求解
从上面例子可以看出，我们是把欲解的问题经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过后一问题的求解把解得结果作用于原问题，从而使原有问题得解。这种解决问题的方法统称为化归法。从思维的过程来看，化归即归结，是一种“熟化”的过程，将生疏的问题归结为已掌握的熟知的问题，通过一系列的熟化，最后达到生疏问题的解决。
3从数学的核心思想、主导办法和学科目标三方面出发，原四平师院王秋海教授重新定义数学：数学是以转化为基本思想，以化归法为主要方法，主要研究量化、模式化的科学。这一定义体现了数学定义研究发展方向，明确了数学的基本思维方式，提出了学习数学应把握的基本要领，对学生建立正确的数学学习观有着重要的现实意义。
二 数学学习的能力要求
由于数学自身的特殊性：高度抽象、逻辑严密、应用广泛。决定了数学学习中有以下几方面能力要求。
1 探索发现能力
高中阶段学生是以间接经验为主，主要通过教师的引导 点拨，认识前人发现的真理。因此，中学生在学习的过程中，探索真理 发现真理的精神进行学习，把学习活动看成是一种创造性的劳动不断获得成功的喜悦。例如：一元二次方程跟与系数的关系，比例与黄金分割，勾股定理，杨辉三角与二项式定理，祖氏原理与球的体积，欧拉公式与拓扑，二进制与计算机，机械运动与解析几何，在中学数学的学习中有很多有趣的知识需要我们去探索发现，在这个过程中需要探索发现的能力，同时也会培养这方面能力。
2抽象概括能力
数学具有高度的抽象性，必然伴随着高度的概括性。特别是使用了高度概括的符号语言，如： 、 、f（x） ξ～N（μ，σ）等等,学生在学习的过程中，始终应坚持从具体到抽象，从特殊到一般的思维方法，重视实验——归纳——类比——联想等思维方法，重视知识的发生过程，明确在该过程中蕴涵的数学思想方法，真正掌握丰富的数学知识和数学理论。
3逻辑推理能力
数学的概念 定理和法则是在逻辑体系下展开的，各分支都用演绎的方法和公理化方法形成了科学的体系，形成了具有严谨结构的逻辑体系，这一特点决定了数学学习必须具有较强的逻辑推理能力，因此，在学习的过程中，首先要对概念有清晰、明确的理解，使思维有根据，其次要通过定理的证明或公式的推导，明确知识的发生过程，掌握逻辑推理方法，并在证题过程中要学会掌握演绎和归纳、分析和综合等证明方法。
三 数学学习的原则
1积极主动原则
著名数学家华罗庚青少年时代，家境贫寒，生活艰苦，无力支付学费，中途辍学，并多次遭到不幸和打击，甚至重病卧床六个月而损坏了腿，但他仍以惊人的毅力战胜一个又一个困难，坚持自学终成著名数学家，这件事足以说明数学学习中积极主动性的重要性。学习的活动应是一种积极主动有目的的活动，在不断的探索和发现中，努力培养积极的人生态度，勇敢面对困难，进而勇敢面对人生。
2学思结合原则
学而不思则罔，思而不学则殆。学，就是接受和储存；思，就是比较、判断和处理，两者相互转换，犹如一个没有止境的螺旋。学思结合要求学生必须把接受知识和巩固知识结合起来，把学习和思考结合起来，要求学生自觉勤于动脑、善于思考、勇于创新，尽量独立认识和理解数学知识，独立发现和解决数学问题。
3循序渐进原则
著名生理学家巴甫洛夫在给青年科学家提出的希望是：循序渐进，循序渐进，再循序渐进。数学是一门逻辑性、系统性很强的学科，各内容之间由内在的联系和规律构成一个严密的逻辑系统，一般说来，前面的知识是后面的基础，而后面的知识又是前面的知识的必然发展。因此，学生在学习时应按从已知到未知，从简单到复杂，从具体到抽象，从感性认识到理性认识，逐步深化理解。
4及时反馈原则
及时反馈原则就是要求学生在学习过程中，及时检查学习情况，查明那些知识和方法，理解上存在偏差，并采取相应措施，使问题得到及时解决。学生的自我反馈有利于提高学习的信心与兴趣，增强鉴别能力，提高学习效率。
四 数学学习的方法
中学数学的学习活动主要有三方面的内容：数学概念的学习、 数学命题（定理、公式、法则、性质）的学习、 数学解题的学习 ，我们主要研究概念 、命题、解题的基本方法。
1 高中数学概念的学习
概念是数学学习的起点，是思维基础，是解题的基础和推理的依据，形成正确的概念对掌握和运用数学知识至关重要。如何才能学好数学概念呢？
（1） 深刻理解概念
通过概念的形成来理解概念。数学的概念主要是通过实例、模型图形计算而引入的，加强对概念形成认识，可增强直观效果，有助于对概念的正确理解。
通过分层次来理解概念。学习概念时要会从文字语言、符号语言、图形语言三个层次剖析。如立体几何中的定理都可分层次理解。
通过概念的变式来理解概念。如几何概念要画出它的变式图形（标准的、非标准的），三角函数中公式的变形应用。
通过对比来理解概念。如新旧概念的对比（指数和指数函数）；对立概念的对比（指数和对数，函数和反函数）；类似概念的对比（线线角、线面角、二面角）等。
通过特例具体化来理解概念。如用三角函数图象来理解函数的周期性，三角函数中的图象变换来理解抽象函数的图象变换规律，常用对数与一般对数。
(2) 牢固掌握概念
牢固掌握概念是灵活运用数学概念的前提，概念理解不准 、概念混淆很容易造成不会解题或解题错误。如两个非零向量数量积小于零推出两个非零向量夹角为锐角，很明显对向量的夹角的概念理解有误；直线在两轴上的截距相等且直线过定点（2，1）推出斜率等于1或—1，上面的解答混淆了“截距”与“距离”两个不同的概念；直线的斜率为K，倾斜角为α ，若K∈（—1，1）则α∈（— ， ），上面的解答对直线的倾斜角的概念理解有误，象这样的例子可以举出很多，主要反映出对概念掌握不牢 、不准导致错误。
（3） 活运用概念
对概念的理解不可能一次完成，应该在运用中不断深化 不断提高。解题过程就是运用概念的过程，在学习中要不断积累，如求球面上两点间的距离，就要用到二面角 三角函数 异面直线余弦定理弧长公式等基础知识，又如，线段AB的长为4，点P到两端点的距离之和为6，求点P到AB中点M的距离的最值，若解三角形用余弦定理可以解得，但运算较繁。若用椭圆的定义，椭圆的几何意义则很容易解得。
2 数学命题的学习
数学命题的学习主要是公式定理法则性质的学习，学习中应注意以下几个方面：
（1） 注意命题的引入
重视命题的引入就是重视知识发生过程，是一种发现探索的过程，也是培养解决问题能力的好机会数学是从现实世界的空间形式或数量关系中来，如服装鞋的尺寸、卡车的载重量都涉及到数列问题，分期付款问题也涉及到数列，注意到这些还能引发我们的学习兴趣，帮我们理解和记忆结论。
（2） 注意命题的推导
引入命题后，就要对命题进行证明，其证明过程往往蕴涵着重要的数学思想，掌握其推导有助于形成技能技巧。如在推导等比数列前项和公式所用的“错位相减法”能用于其他数列的求和，又如三角函数中有很多公式，在公式的推导中有公式的多种变式，可以帮助我们提高套用公式凑用公式逆用公式的能力。
（3） 注意命题成立的条件
任何一个数学命题总是在一定范围内才能使用，命题和其成立条件是不可分割的，学习的最大弱点是把公式作为“万能公式”机械套用。
3中学数学解题的学习
所谓解题，就是揭示条件与结论之间的内在联系，不同的题有不同的解题技巧，但总存在一般规律——转化，也就是数学问题的解决在于形式的改变，解题时我们的思维活动大致按“观察——联想——转化”的步骤进行，在思考的过程中我们会有许多问题，下面是一张问题表：
步骤 思考程序
观察 1要解（证）的问题是什么？是哪种类型问题？2已知条件（数据图形及其与结论的联系）是什么？要求的结论（未知事项）是什么？3所给的图形和式子有什么特点？能否用一个图形（几何的、函数的）或数学式子将问题表示出来？4有什么隐含条件？
联想 1这个题见过做过吗？2这个题见过 做过类似的题吗？当时是怎样想的/3题的一部分（条件、结论、式子、图形）以前见过吗？在什么问题中见过？4题中的式子图形与记忆中的什么式子图形相象？它们之间可能有什么联系？5解这类问题通常有几种方法？可能那种方法简单，试一试如何？6有已知条件能推出那些可知事项和条件？要求出未知结论，需知道什么？7与这个问题有关的知识（概念定理公式）有那些？
转化 1能否将题中复杂的式子化简？2能否将条件进行划分，将大的问题化为几个小问题？3能否进行变量替换恒等变换或几何变换，将问题的形式变得明显一些？4能否形——数互化 利用几何方法来解决代数问题？利用代数方法解决几何 问题？5利用等价命题（逆否命题）或其他方法，将 问题转化为一个较为熟悉的问题6最终目的：将未知转化为已知。
在以上问题表中给出了一般的方向，留给学生去做的还很多，解决数学问题还需要许多工作要做正如解题研究的宗师波利亚所说：货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。希望大家应花大力去作到下述几个要求：
1掌握数学基础知识体系。
2理解数学概念定理公式法则
3熟悉基本逻辑规则和常用解题方法，积累解题技巧。
4掌握常用思维方法，如观察 试验归纳演绎类比分析综合抽象概括。
5解题后要反思。
参考书目：《数学史概论》李文林 高等教育出版社
《数学思维方法》邓鹤年 王玉启 张维升 王秋海 王宪昌 吉林大学出版社
《数学解题学引论》 罗增儒 陕西师范大学出版社
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