同余理论题目,急,收到请速回复,

发布网友 发布时间：2022-04-30 13:43

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热心网友 时间：2022-06-22 18:11

2^50=(2^10)^5=1024^5；1024≡24(mod 100)，所以1024^5≡24^5(mod 1024)，即2^50≡24^5(mod 100)①；24^2=576，576≡76(mod 100)，即24^2≡76(mod 100)；所以(24^2)^2≡(76)^2(mod 100)≡76(mod 100)，即24^4≡76(mod 100)，所以24^4×24≡76×24(mod 100)≡24(mod100)，即24^5≡24(mod 100)②；由①和②得2^50≡24(mod 100)，所以2^50的末两位为24。

热心网友 时间：2022-06-22 18:12

求2^50的十进制数表示中的最末两位数
解：
题意即求2^50 mod 100.
由欧拉函数定理，
2^20==1 mod 25 (注：phi(25)=20)
故2^40==1 mod 25,
2^50==2^10=1024==24 mod 25
又2^50==0 mod 4
可见2^50是同余式
x==24 mod 25 且 x==0 mod 4的解。
而此同余式的解易求得为x==24 mod 100
故2^50==24 mod 100.
个人认为，此法为较快捷之法。

另：
2^20==1==-24 mod 25, 2^20=0 mod 4, 故2^20==-24 ==76 mod 100
76^2==76 mod 100，76是自守数。
另：
phi(m)为m的欧拉函数， 即m的既约剩余系类数的计量函数。
下面的命题，我猜想是正确的，没有严格证明:
若k=s*phi(m)+t, 1<=t<=phi(m)，则a^k==a^t mod m
其中a为任意整数，k,s,m,t均为整数。

热心网友 时间：2022-06-22 18:12

这个题，求最后两位数，相当于这个数对100取余数
2^50 =( 2^7)^ 7 * 2 = 128^7 *2 同余于 28^7 *2 = 2^15 * 7^7 = 128*128*2*7^7 同余于 28*28*2 *7^7
=2^5 * 7^9 = 32*(7^3)^3 = 32* 343^3同余于 32*43^3 = 32*43*43*43 = 1376*1849 同余于 76*49 = 3724 ， 所以最后两位是24
只要有某个数大于100，就可以减去100，这样会保证同余