推导对数正态分布数学期望的积分过程
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发布时间：2022-04-30 14:54
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热心网友
时间：2022-06-25 18:11
设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]，就是均值是u,方差是t^2。
于是：
∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）
积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域。
（1）求均值
对（*）式两边对u求导：
∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0
约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得：
∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0
把(u-x)拆开,再移项：
∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx
也就是
∫x*f(x)dx=u*1=u
这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u.
(2)方差
对(*)式两边对t求导：
∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π
移项：
∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2
也就是
∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2
正好凑出了方差的定义式,从而结论得证。
扩展资料：
二重积分的现实(物理)含义：面积 × 物理量 = 二重积分值。
举例说明：二重积分的现实(物理)含义：
1、二重积分计算平面面积，即：面积 × 1 = 平面面积。
2、二重积分计算立体体积，即：底面积 × 高 = 立体体积。
3、二重积分计算平面薄皮质量，即：面积 × 面密度 = 平面薄皮质量。
二重积分的定义式：
其中
xxx与yyy叫做积分变量，f(x,y)f(x,y)f(x,y)叫做被积函数，dσd\sigmadσ叫做面积元素，DDD叫做积分区域。
参考资料来源：百度百科--二重积分
热心网友
时间：2022-06-25 18:12
没有太简单的方法了
两次换元法，可以化成概率积分的形式
这个积分的结果可以直接用
所以，也不算太麻烦
过程如下：
热心网友
时间：2022-06-25 18:12
