重要不等式都有哪些?

发布网友发布时间：2023-11-10 11:52

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热心网友时间：2024-03-14 19:31

重要不等式，是指在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。

包括，排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、幂平均不等式、权方和不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式等。

即＂a的平方＋b的平方≥2ab＂。

此不等式在解决一些要证明不等关系却在题目中不存在不等量时比较常用，所以叫重要不等式。

使用此不等式要满足几个条件：

①a.b都要同时≥或≤0。

②只有a.b等于时满足等号成立。

1、均值不等式：对任意的正整数n＞1，正数的算术平均。数不小于几何平均数。

2、伯努利不等式：对任意的正整数n＞1，以及任意的x＞-1。证明：采用数学归纳法：n＝1时，不等式明显成立，我们假设当n＝k-1时，不等式成立。

3、绝对值不等式：a、b是实数，

4、二项式展开式，可以用来放大缩小数列，求极限。

此外还有很多难些的不等式，例如数学分析到泛函分析里最最重要的一些不等式：柯西-施瓦茨不等式、Jesen不等式、赫尔德（Holder）不等式、闵可夫斯基（Minkowski）不等式、Hilbert空间的贝塞尔不等式，Poincare不等式（变分学中非常重要的不等式）等等。

均值不等式

a2＋b2≥2ab（a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍）。

当a、b分别大于0时，上式可变为a＋b≥2√ab。

有可分以下几种情况：

⑴对实数a，b，有a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号），a2＋b2≥-2ab。

⑵对非负实数a，b，有a＋b≥2√ab≥0，即（a＋b）/2≥√ab≥0。

⑶对负实数a，b，有a＋b＜0＜2√ab。

⑷对实数a，b，有a（a-b）≥b（a-b）。

⑸对非负数a，b，有a2＋b2≥2ab≥0。

⑹对非负数a，b，有a2＋b2≥［（a＋b）2］/2≥2ab。

⑺对非负数a，b，c，有a2＋b2＋c2≥［（a＋b＋c）2］/3。

⑻对非负数a，b，c，有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac。

⑼对非负数a，b，有a2＋ab＋b2≥［3（a＋b）2］/4。

⑽对实数a，b，c，有（a＋b＋c）/3≥（abc）1/3。