序数的相关概念

发布网友发布时间：2022-05-01 09:24

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热心网友时间：2022-06-27 11:36

偏序全序和良序
次序是二元关系（见映射）的一个非常重要的类型。设R是定义在A上的满足下列条件的二元关系：①对于一切x∈A有xRx（自反性）；② 对于一切x，y∈A，由xRy与yRx可得x=y（反对称性）；③对于一切x，y，z∈A，由xRy与yRz可得xRz（传递性），就称R是定义在A上的偏序，也称半序。偏序R通常记为≤或≤，α≤b）读作α在b前。集合A连同其上定义的偏序≤，称为偏序集，记为〈A，≤〉。实数集上的通常的大小关系、集合之间的被包含关系、自然数之间的可整除关系都是偏序的例。设≤为A上的偏序。如果在A上定义一个关系<；，使得x<y当且仅当x≤y且x≠y，则关系<；满足条件：①′对任何x∈A，x<x不成立，②′由x<y与y<z可得x<z。这时<；称为严格偏序。反之，设<；为严格偏序，如果定义x≤y当且仅当x<y或x=y，则≤必为偏序。因此在偏序与严格偏序之中只需讨论一种就够了。设〈A，≤〉为一偏序集，如果x0∈A且在A中没有其他x使x≤x0，则称x0为A的一个极小元（素）。如果对于一切x∈A有x0≤x，则称x0为A中的最小元（素），正整数集在整除的偏序下1是最小元，但若只限于大于1的整数，则只有极小元（每个质数）而无最小元。仿此可定义极大元与最大元。设x为偏序集〈A，≤〉的子集，如果存在α∈A，使得对于一切x∈x，有α≤x，则称α为x（关于A）的一个下界。如果x的关于A的一切下界有一最大元α0，就称α0为x（关于A）的下确界，记为infx。仿此可定义上界和上确界，后者记为supx。A上的偏序≤，如果再加上条件④对于一切x，y∈A，总有x≤y或y≤x（至少有一成立），就称≤为A上的全序，也称线序。〈A，≤〉称为全序集。显然，在全序集中x<y，x=y，x>y，三者必居其一且仅居其一。实数集及其任何子集在通常的≤关系下是全序集的例。对于全序集〈A，≤〉如果再加上条件⑤A的任一非空子集都有最小元，就称≤为A上的良序，〈A，≤〉称为良序集。按任何顺序排起来的有限集，按自然顺序的自然数集，将所有奇数排在前面、所有偶数排在后面的自然数集{1，3，5，…，2，4，6，…}都是良序集之例。但整数全体，区间[0，1]，就不是良序集。设<A，≤1>,<B，≤2>；为两个偏序集，如果存在A到B的双射φ使得对于一切x，y∈A,x≤1y当且仅当φ(x）≤2φ(y），便称两偏序集为序同构，记为A埍B。例如奇数集与偶数集序同构，但是上面列举的三个良序集没有两个是序同构的。