随机序列自相关函数的估计
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发布时间：2022-05-01 14:05
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时间：2023-10-17 02:42
假设仅仅观测到实随机序列x（n）的一段样本数据，n=0，1，2，…，N，利用这一段样本数据估计自相关函数的方法有两种，即无偏自相关函数估计和有偏自相关函数估计。
1.3.4.1 无偏自相关函数的估计
估计公式为
地球物理信息处理基础
将上面两式写成一个表达式
地球物理信息处理基础
下面分析这种自相关函数的估计质量，首先分析偏移性
地球物理信息处理基础
因此，B=0，这是一种无偏估计。下面推导估计量的方差
地球物理信息处理基础
为了分析简单，假设x（n）是实的、均值为0的高斯随机信号，求和号内的部分可以写成
地球物理信息处理基础
式中：令l=k-n，此时求和域发生了变化，如图1-4所示，根据变化后的求和域（k，l），估计量的方差推导如下
地球物理信息处理基础
图1-4 求和域的变化
一般观测数据量N很大
地球物理信息处理基础
上式中，只有当N≫m，N→∞时，估计量的方差才趋于0。但是当，m→N时，方差将很大，因此，这种估计方法在一般情况下不是一种好的估计方法；虽然是无偏估计，也不能算是一致估计。在推导过程中，曾假设信号是高斯信号，对于非高斯信号该结论也正确。
1.3.4.2 有偏自相关函数的估计
有偏自相关函数用
（m）表示，计算公式如下
地球物理信息处理基础
对比式（1-84），不同的是求解平均时只用（N+1）去除，这是不合理的，但下面可推导出它服从渐近一致估计的原则，比无偏自相关函数的估计误差小，因此以后需要由观测数据估计自相关函数时，均用上式进行计算。下面先来分析它的偏移性。
对比式（1-84）和式（1-91），无偏自相关函数与有偏自相关函数的关系式为
地球物理信息处理基础
因为
（m）是无偏估计，因此得到
地球物理信息处理基础
该式说明
（m）是有偏估计，但是渐近无偏，其偏移为
地球物理信息处理基础
在式（1-93）中
（m）的统计平均值等于其真值乘以三角窗函数wB（m）（或称巴特利特窗函数）
地球物理信息处理基础
三角窗函数的波形如图1-5所示。只有当m=0时，
（m）才是无偏的，其它m都是有偏的，但当N→∞时，wB（m）→1，B→0，因此
（m）是渐近无偏。
图1-5 三角窗函数
下面推导它的估计量方差。
根据式（1-92），估计量的方差为
地球物理信息处理基础
将式（1-90）代入上式，得到
地球物理信息处理基础
显然，当N→∞时，var［
（m）］→0，并且
。
由此可见：虽然
（m）是有偏估计，但是渐近一致估计，估计量的方差小于
（m）的方差。因此实际中多用这种有偏自相关函数估计。注意，以后有偏自相关函数改用
（m）表示。
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时间：2023-10-17 02:42
假设仅仅观测到实随机序列x（n）的一段样本数据，n=0，1，2，…，N，利用这一段样本数据估计自相关函数的方法有两种，即无偏自相关函数估计和有偏自相关函数估计。
1.3.4.1 无偏自相关函数的估计
估计公式为
地球物理信息处理基础
将上面两式写成一个表达式
地球物理信息处理基础
下面分析这种自相关函数的估计质量，首先分析偏移性
地球物理信息处理基础
因此，B=0，这是一种无偏估计。下面推导估计量的方差
地球物理信息处理基础
为了分析简单，假设x（n）是实的、均值为0的高斯随机信号，求和号内的部分可以写成
地球物理信息处理基础
式中：令l=k-n，此时求和域发生了变化，如图1-4所示，根据变化后的求和域（k，l），估计量的方差推导如下
地球物理信息处理基础
图1-4 求和域的变化
一般观测数据量N很大
地球物理信息处理基础
上式中，只有当N≫m，N→∞时，估计量的方差才趋于0。但是当，m→N时，方差将很大，因此，这种估计方法在一般情况下不是一种好的估计方法；虽然是无偏估计，也不能算是一致估计。在推导过程中，曾假设信号是高斯信号，对于非高斯信号该结论也正确。
1.3.4.2 有偏自相关函数的估计
有偏自相关函数用
（m）表示，计算公式如下
地球物理信息处理基础
对比式（1-84），不同的是求解平均时只用（N+1）去除，这是不合理的，但下面可推导出它服从渐近一致估计的原则，比无偏自相关函数的估计误差小，因此以后需要由观测数据估计自相关函数时，均用上式进行计算。下面先来分析它的偏移性。
对比式（1-84）和式（1-91），无偏自相关函数与有偏自相关函数的关系式为
地球物理信息处理基础
因为
（m）是无偏估计，因此得到
地球物理信息处理基础
该式说明
（m）是有偏估计，但是渐近无偏，其偏移为
地球物理信息处理基础
在式（1-93）中
（m）的统计平均值等于其真值乘以三角窗函数wB（m）（或称巴特利特窗函数）
地球物理信息处理基础
三角窗函数的波形如图1-5所示。只有当m=0时，
（m）才是无偏的，其它m都是有偏的，但当N→∞时，wB（m）→1，B→0，因此
（m）是渐近无偏。
图1-5 三角窗函数
下面推导它的估计量方差。
根据式（1-92），估计量的方差为
地球物理信息处理基础
将式（1-90）代入上式，得到
地球物理信息处理基础
显然，当N→∞时，var［
（m）］→0，并且
。
由此可见：虽然
（m）是有偏估计，但是渐近一致估计，估计量的方差小于
（m）的方差。因此实际中多用这种有偏自相关函数估计。注意，以后有偏自相关函数改用
（m）表示。
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时间：2023-11-08 03:39
假设仅仅观测到实随机序列x（n）的一段样本数据，n=0，1，2，…，N，利用这一段样本数据估计自相关函数的方法有两种，即无偏自相关函数估计和有偏自相关函数估计。
1.3.4.1 无偏自相关函数的估计
估计公式为
地球物理信息处理基础
将上面两式写成一个表达式
地球物理信息处理基础
下面分析这种自相关函数的估计质量，首先分析偏移性
地球物理信息处理基础
因此，B=0，这是一种无偏估计。下面推导估计量的方差
地球物理信息处理基础
为了分析简单，假设x（n）是实的、均值为0的高斯随机信号，求和号内的部分可以写成
地球物理信息处理基础
式中：令l=k-n，此时求和域发生了变化，如图1-4所示，根据变化后的求和域（k，l），估计量的方差推导如下
地球物理信息处理基础
图1-4 求和域的变化
一般观测数据量N很大
地球物理信息处理基础
上式中，只有当N≫m，N→∞时，估计量的方差才趋于0。但是当，m→N时，方差将很大，因此，这种估计方法在一般情况下不是一种好的估计方法；虽然是无偏估计，也不能算是一致估计。在推导过程中，曾假设信号是高斯信号，对于非高斯信号该结论也正确。
1.3.4.2 有偏自相关函数的估计
有偏自相关函数用
（m）表示，计算公式如下
地球物理信息处理基础
对比式（1-84），不同的是求解平均时只用（N+1）去除，这是不合理的，但下面可推导出它服从渐近一致估计的原则，比无偏自相关函数的估计误差小，因此以后需要由观测数据估计自相关函数时，均用上式进行计算。下面先来分析它的偏移性。
对比式（1-84）和式（1-91），无偏自相关函数与有偏自相关函数的关系式为
地球物理信息处理基础
因为
（m）是无偏估计，因此得到
地球物理信息处理基础
该式说明
（m）是有偏估计，但是渐近无偏，其偏移为
地球物理信息处理基础
在式（1-93）中
（m）的统计平均值等于其真值乘以三角窗函数wB（m）（或称巴特利特窗函数）
地球物理信息处理基础
三角窗函数的波形如图1-5所示。只有当m=0时，
（m）才是无偏的，其它m都是有偏的，但当N→∞时，wB（m）→1，B→0，因此
（m）是渐近无偏。
图1-5 三角窗函数
下面推导它的估计量方差。
根据式（1-92），估计量的方差为
地球物理信息处理基础
将式（1-90）代入上式，得到
地球物理信息处理基础
显然，当N→∞时，var［
（m）］→0，并且
。
由此可见：虽然
（m）是有偏估计，但是渐近一致估计，估计量的方差小于
（m）的方差。因此实际中多用这种有偏自相关函数估计。注意，以后有偏自相关函数改用
（m）表示。
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时间：2023-10-17 02:42
假设仅仅观测到实随机序列x（n）的一段样本数据，n=0，1，2，…，N，利用这一段样本数据估计自相关函数的方法有两种，即无偏自相关函数估计和有偏自相关函数估计。
1.3.4.1 无偏自相关函数的估计
估计公式为
地球物理信息处理基础
将上面两式写成一个表达式
地球物理信息处理基础
下面分析这种自相关函数的估计质量，首先分析偏移性
地球物理信息处理基础
因此，B=0，这是一种无偏估计。下面推导估计量的方差
地球物理信息处理基础
为了分析简单，假设x（n）是实的、均值为0的高斯随机信号，求和号内的部分可以写成
地球物理信息处理基础
式中：令l=k-n，此时求和域发生了变化，如图1-4所示，根据变化后的求和域（k，l），估计量的方差推导如下
地球物理信息处理基础
图1-4 求和域的变化
一般观测数据量N很大
地球物理信息处理基础
上式中，只有当N≫m，N→∞时，估计量的方差才趋于0。但是当，m→N时，方差将很大，因此，这种估计方法在一般情况下不是一种好的估计方法；虽然是无偏估计，也不能算是一致估计。在推导过程中，曾假设信号是高斯信号，对于非高斯信号该结论也正确。
1.3.4.2 有偏自相关函数的估计
有偏自相关函数用
（m）表示，计算公式如下
地球物理信息处理基础
对比式（1-84），不同的是求解平均时只用（N+1）去除，这是不合理的，但下面可推导出它服从渐近一致估计的原则，比无偏自相关函数的估计误差小，因此以后需要由观测数据估计自相关函数时，均用上式进行计算。下面先来分析它的偏移性。
对比式（1-84）和式（1-91），无偏自相关函数与有偏自相关函数的关系式为
地球物理信息处理基础
因为
（m）是无偏估计，因此得到
地球物理信息处理基础
该式说明
（m）是有偏估计，但是渐近无偏，其偏移为
地球物理信息处理基础
在式（1-93）中
（m）的统计平均值等于其真值乘以三角窗函数wB（m）（或称巴特利特窗函数）
地球物理信息处理基础
三角窗函数的波形如图1-5所示。只有当m=0时，
（m）才是无偏的，其它m都是有偏的，但当N→∞时，wB（m）→1，B→0，因此
（m）是渐近无偏。
图1-5 三角窗函数
下面推导它的估计量方差。
根据式（1-92），估计量的方差为
地球物理信息处理基础
将式（1-90）代入上式，得到
地球物理信息处理基础
显然，当N→∞时，var［
（m）］→0，并且
。
由此可见：虽然
（m）是有偏估计，但是渐近一致估计，估计量的方差小于
（m）的方差。因此实际中多用这种有偏自相关函数估计。注意，以后有偏自相关函数改用
（m）表示。
