怎么用高一数学知识去证明球的体积公式?

发布网友发布时间：2022-05-02 05:44

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热心网友时间：2023-10-09 18:36

首先要知道球的表面积是4πR^2 那么我们在球表面随便取一块面积很小的区域，设其面积为S 那么，以它为底面积，球心为高的立体图形就可以看作是一个高为R 底面积为S的锥体，锥体体积是1/3RS
然后把这些小的锥体体积都加起来，就得球体积，就是1/3R*4πR^2

热心网友时间：2023-10-09 18:36

高中课本给出了圆球体积公式的证明过程，而椭球的体积公式是如何证明的呢？其实我们完全可以运用中学所学的知识来证明椭球的体积公式。下面的证明借鉴了高中课本中证明圆球体积公式的方法，但愿证明方法二也能引入到高中的课本中去。

证明方法一：
[注：此证明方法是刚读高一时，在没有学习到椭圆方程等的情况下作出的。此证明方法利用到了物理学中的液体压强公式 P=ρgh 及压强的定义式 P=F/S 。椭球体积公式的导出，起因于读初中时对液体压强公式的怀疑。此证明方法在此暂不给出。]

证明方法二：
如图（1），将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上。以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面。有
S圆 =π(m2-d2) 【1】
S环 =πb2-πr2=π(b2-r2)
因为 r/b=d/a（三角形相似）
所以 S环 =π(b2-b2d2/a2) 【2】

将M点的坐标值代入椭圆方程x2/b2+y2/a2=1中有
(m2-d2)/b2+d2/a2=1
即 m2-d2=b2-b2d2/a2 【3】
将【1】、【2】代入【3】得
S圆=S环
再根据祖恒原理可知，这两个几何体是相等的。
即 V椭/2=V柱-V锥=πab2-πab2/3
即 V椭=4πab2/3

当椭半球体的截面不是圆面而是椭圆面时,我们可推导得到椭球的体积公式为4πabc/3 。
下面的证明得到了新华网论坛昵称为瞎话瞎说 wdzg168 等网友的帮助。特此致谢！〖点击阅读〗