曲面积分 求(xdydz + ydzdx + zdxdy) ...8
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发布时间：2023-11-12 20:57
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时间：2024-08-03 16:10
∫∫Σ (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (1/a³)∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy
= (1/a³)∫∫Σ x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (1/a³)∫∫D a²/√(a² - x² - y²) dxdy
= (1/a)∫(0，2π) ∫(0，a) r/√(a² - r²) drdθ
= 2π
第二题要注意些地方，用高斯公式是最方便的
由于这个不是封闭曲面，所以要在下面加上一个平面，但是也要绕过不连续的奇点部分
所以，这个平面是一个圆环，从yz面或zx面正看这立体的平面图，是一道彩虹的样子
里面的曲面是小球体x² + y² + z² = λ²，外面的曲面是椭球体x²/4 + y²/9 + z²/25 = 1
P，Q，R的偏导数都相等 ==> 结果与曲面无关(跟格林公式的积分与路径无关的原理相似)
选最简单的曲面Σ1：x² + y² + z² = λ²，取下侧
还要补上圆环Σ2：z = 0，取下侧
∫∫Σ1 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (- 1/λ³)∫∫Σ1 x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (- 1/λ³)∫∫D λ²/√(λ² - x² - y²) dxdy
= (- 1/λ)∫(0，2π) ∫(0，λ) r/√(λ² - r²) drdθ
= - 2π
而∫∫Σ2 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= ∫∫Σ2 0dxdy/(x² + y²)^(3/2) = 0
原积分I = 0 - (- 2π) - 0 = 2π
第二题你的思想没错，结果与曲面无关，可以任选包含奇点的曲面
(外曲面取上侧，内曲面取下侧；反之亦然)，总之原积分不可以包含该奇点，要把其排除在外
