一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有几个
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发布时间：2023-12-03 02:08
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时间：2024-10-12 00:33
［解一］
①这个数除以5余2，除以4余3，此时5+2＝4+3＝7（余数和除数的和相同），5和4的最小公倍数是20，根据“和同取和，公倍数做周期”，此数可表示为20n+7，所以这个数除以20余7。②由于这个数除以9余7，除以20余7，9和20的最小公倍数是180，则此数可表示为180n+7。③所以这个数可能的取值是187、367、547、727、907，共5个数，选择A。
［华图名师点评一］同余问题核心口诀：余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期。
［解二］
4、5、9的最小公倍数是180，所以每180个相邻的整数中，恰好有一个数满足“除以9余7，除以5余2，除以4余3”。而三位数（100～999）共有900个整数，根据900÷180＝5，得到5个数最终满足条件，选择A。
［华图名师点评二］上述证明中的“每180个数中恰有一个数满足条件”其实是不严谨的，180作为周期，可以得到“如果A满足条件，那么A＋180也满足条件”，但前提是必须要有“A”存在。所以可能满足条件的数，一个也没有，但作为一道选择题，选项中没有0这个选项出现，所以答案就是5。
［解三］
除以9余7的数最小的是7，而7恰恰除以5余2，除以4余3，所以我们可判断：7便是满足条件当中的一个数。而4×5×9＝180是这样的数的周期，所以满足条件的数可表示为180n+7，所以满足条件的数为187、367、547、727、907，共五个。
［华图名师点评三］这种解法叫做“试值法”，也是解决同余问题时常见的简便方法。
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时间：2024-10-12 00:34
在中国古代著名数学著作《孙子算经》中，有一道题目叫做“物不知数”，原文如下:
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。中国数学家秦九韶于1247年做出了完整的解答，口诀如下
三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知
这个解法实际上是，首先利用秦九韶发明的大衍求一术求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个70（这个称为35相对于3的数论倒数），3和7的最小公倍数21相对于5的数论倒数21，3和5的最小公倍数15相对于7的数论倒数15。然后233便是可能的解之一。它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为233除以105的余数23。
用在这一题上，就是先求出4和5的最小公倍数是20，20的倍数中最小的除以9余1的数是100。再求出9和4最小公倍数36，36的倍数中最小的除以5余1的数是36。接着求5和9最小公倍数45，45倍数中除以4余1的最小的是45。
然后用7*100+2*36+3*45=907 这个就是满足题目的其中的一个解
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时间：2024-10-12 00:34
分成两个等式，5B-9A=5
4C-9A=4
B=1+9/5A，C=1+9/4A，因为A、B、C都是整数，所以A必须能够整除5和4，所以A是20的倍数，另外还要满足9A+7是个三位数，所以A的范围在11~110之间，满足这样条件的数有20,40,60，80,100，所以，下面就自己算吧。总共有五个
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时间：2024-10-12 00:33
［解一］
①这个数除以5余2，除以4余3，此时5+2＝4+3＝7（余数和除数的和相同），5和4的最小公倍数是20，根据“和同取和，公倍数做周期”，此数可表示为20n+7，所以这个数除以20余7。②由于这个数除以9余7，除以20余7，9和20的最小公倍数是180，则此数可表示为180n+7。③所以这个数可能的取值是187、367、547、727、907，共5个数，选择A。
［华图名师点评一］同余问题核心口诀：余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期。
［解二］
4、5、9的最小公倍数是180，所以每180个相邻的整数中，恰好有一个数满足“除以9余7，除以5余2，除以4余3”。而三位数（100～999）共有900个整数，根据900÷180＝5，得到5个数最终满足条件，选择A。
［华图名师点评二］上述证明中的“每180个数中恰有一个数满足条件”其实是不严谨的，180作为周期，可以得到“如果A满足条件，那么A＋180也满足条件”，但前提是必须要有“A”存在。所以可能满足条件的数，一个也没有，但作为一道选择题，选项中没有0这个选项出现，所以答案就是5。
［解三］
除以9余7的数最小的是7，而7恰恰除以5余2，除以4余3，所以我们可判断：7便是满足条件当中的一个数。而4×5×9＝180是这样的数的周期，所以满足条件的数可表示为180n+7，所以满足条件的数为187、367、547、727、907，共五个。
［华图名师点评三］这种解法叫做“试值法”，也是解决同余问题时常见的简便方法。
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时间：2024-10-12 00:34
在中国古代著名数学著作《孙子算经》中，有一道题目叫做“物不知数”，原文如下:
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。中国数学家秦九韶于1247年做出了完整的解答，口诀如下
三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知
这个解法实际上是，首先利用秦九韶发明的大衍求一术求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个70（这个称为35相对于3的数论倒数），3和7的最小公倍数21相对于5的数论倒数21，3和5的最小公倍数15相对于7的数论倒数15。然后233便是可能的解之一。它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为233除以105的余数23。
用在这一题上，就是先求出4和5的最小公倍数是20，20的倍数中最小的除以9余1的数是100。再求出9和4最小公倍数36，36的倍数中最小的除以5余1的数是36。接着求5和9最小公倍数45，45倍数中除以4余1的最小的是45。
然后用7*100+2*36+3*45=907 这个就是满足题目的其中的一个解
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分成两个等式，5B-9A=5
4C-9A=4
B=1+9/5A，C=1+9/4A，因为A、B、C都是整数，所以A必须能够整除5和4，所以A是20的倍数，另外还要满足9A+7是个三位数，所以A的范围在11~110之间，满足这样条件的数有20,40,60，80,100，所以，下面就自己算吧。总共有五个
