在平面直角坐标系xOy内有两个定点M（-6，0），N（6，0），动点P满足|PM...
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发布时间：2022-04-26 13:50
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时间：2023-10-09 21:46
所以|MN|=26=24，由动点P满足|PM|+|PN|=42=32＞24，
所以点P的轨迹为以22为半长轴，以M（-6，0），N（6，0）为焦点的椭圆．
由b2=a2-c2=(22)2-(6)2=2．
所以曲线C的方程为x28+y22=1；
（Ⅱ）若存在点P（x0，y0），使得|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
则|PM||PN|=|MN|2，
因为椭圆的离心率e=622=32，由焦半径公式得：|PM|=22+32x0，|PN|=22-32x0．
所以(22+32x0)(22-32x0)=4×(6)2，即8-34x02=24，此方程无解．
故不存在点P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比数列；
（Ⅲ）当直线AB的斜率不存在时，由|AB|=83，得A，B的纵坐标分别为±43．
代入椭圆方程可得其横坐标为-223或222．
此时S△OAB=12×83×223=829；
当直线AB的斜率存在时，
设AB所在直线方程为y=kx+b，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立y=kx+bx28+y22=1，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-8=0．
所以x1+x2=-8kb1+4k2，x1x2=4b2-81+4k2．
|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(-8kb1+4k2)2-4•4b2-81+4k2=83，
整理得：|b|=8k4+58k2+1431+k2．
原点O（0，0）到AB所在直线的距离为d=|b|1+k2．
所以S△OAB=12×83×|b|1+k2
=49×8k4+58k2+14(1+k2)2
=49-36•(11+k2)2+42(11+k2)+8．
令11+k2=t（0＜t≤1）．
则S△OAB=49-36t2+42t+8．
所以当t=712时，S△OAB有最大值为2．
所以829＜S△OAB≤2．
综上，829≤S△OAB≤2．
所以，△AOB面积的取值范围是[829，2]．
