全概公式什么情况下用?举个例子分析就更好了
发布网友
发布时间：2022-04-25 03:58
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热心网友
时间：2023-10-24 11:26
P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An).
此公式即为全概率公式。
一个别人举的例子：
一个村子与三个小偷，小偷偷村子的事件两两互斥，求村子被偷的概率。
解释：假设这三个小偷编号为A1,A2,A3;
偷东西的事件标记为B,不偷的话标记为：B^
那么被偷的概率就是：要么是A1，要么是A2，要么是A3，
如果是A1, 概率是什么呢？首先得是A1,其次是村子被偷，也即是两个事件都满足，所以是P(A1B)
同理，可以得到P(A2B),P(A3B)
又因这三个小偷两两互斥，表示不会同时去偷。所以被偷的概率是：
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
当然按照条件概率或者乘法公式展开：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) （*）
PS: P(Ai),P(B|Ai)是已知的
问：是不是有想展开为：
P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的冲动？
当然这个式子是没错的，但是体现不了这个问题的解法：分阶段。
（*）式子体现的是问题分为两个阶段：
1）选人，分割问题
2）计算分割的子问题的条件概率
对应的这里来便是：
1）选小偷，谁去偷
2）选定的小偷作为条件，那么他去偷的条件概率是什么
所以将问题拆解为阶段的问题便是全概率公式针对的问题。
热心网友
时间：2023-10-24 11:26
要理解使用场景，先要对公式进行理解
还记得事件概率的乘法原理吗？
对于一个问题，分步计算，概率相乘
而对于全概率公式通俗理解类似于乘法原理就是：
*对于需要解决的问题，
1.先找出所有的可解决问题的手段（划分）
2.分析每种手段的实现
结合公式理解：每个Ai 就是一种手段，每种手段实现问题的概率就是P(B|Ai)
那么计算所求问题的概率时候，
1.首先确定用哪一种可能的手段，P(Ai)表示选择这种手段的概率；
2.然后确定手段怎么实现，也就是P(B|Ai)。意思是在选择Ai条件下解决问题的概率，条件概率
举个栗子：
袋子中有a只红球，b只白球，先从袋中任取一球，记下颜色，不放回然后再从袋中取出一球，求第二次取到白球的概率。
分析一下：
求第二次到白球的概率，那么有几种手段呢
第一次取的红球（B1={第一次取到红球}），然后第二次取中白球 P(A|B1)
第一次取的白球（B2={第一次取到白球}），然后第二次取中白球 P(A|B2)
其中A表示第二次取白球
根据乘法原理1.的概率为P(B1)P(A|B1) ; 2.的概率为P(B2)P(A|B2)
根据加法原理无论是1.还是2.都可以解决问题，则解决问题（第二次取白球）的概率为
同理可以类推到解决手段有多种的问题，由此得到全概率公式的应用场景
