求物理做功公式W=FS的推导方法或者理论证明方法
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发布时间：2022-04-25 03:15
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时间：2023-10-22 20:42
功是物理学中一个重要的基本概念，比较抽象复杂，其概念的形成是教学中的一个难点。在介绍功这个物理概念之前，宜先从字面上介绍一下"功"的多重含义（这样从一开始就提醒学生注意物理学的功跟人们通常说的"功"不一样，这对学生掌握功的概念是有好处的）：1、功劳，跟"过"相对，例如丰功伟绩、功劳、立功；2、成绩、效果、成效的意思，例如事半功倍、大功告成；3、技术和技术修养，例如唱功、基本功等等。物理学里的功主要偏重于"成效、效果"的意思，当然还有它本身的物理意义。
概念的引入：我们为什么要引入功这个概念？描写物体运动和受力之间的关系我们已经有了牛顿第二定律，似乎不用再画蛇添足了，这时可以举一个例子让学生思考--人推车（当然还应该多举几个例子引导学生思考）。此时车子受到人施加的一个作用力F，在克服摩擦力之后车子将如何运动？答案是车子将从静止开始加速向前运动，换句话说，车子的运动状态发生了变化，过一段时间之后车子的速度将从零变化到某一个速度，速度变化的大小反映了力F对车子的作用效果，但我们要问一下力F对车子的作用效果即车子运动状态变化的大小（这里是速度变化的大小）除了与力F有关以外，还与什么因素有关？通过引导，学生大多能找到答案：是力的作用时间和车子的位移这两个因素，力的作用时间暂且放到一边（这将在冲量定理部分研究：力对物体的时间累积效应），先看看车子的位移这个因素，可以这样说如果车子的位移为零，则力F对车子的作用效果将为零，这说明力F对车子的作用效果同时与力F和位移有关，单靠力F或者位移都无法描写力F对车子的作用效果，实际上，牛顿第二定律F=ma只能说明力F对物体作用的瞬时关系，外力F作用于物体上会使物体产生加速度a ,物体的运动状态将要改变，但物体的运动状态能否改变，也即外力F对物体的作用效果，还取决于力F作用下物体的位移S ，我们把外力对物体作用一段距离而产生的效果，称为力对物体的空间累积效应，因此我们需要定义一个物理量来描写力对物体的空间累积效应，由于这个物理量是用来描写力F的作用效果的，所以我们用汉字"功"来给这个物理量取名，如前所述，这是借用了汉字"功"表效果的这层意思。这就是说，力F对物体产生了作用效果，我们就说外力对物体做了功，也就是，使物体的运动状态或者说物体的能量发生相应的变化，反之亦然。在概念的引入过程中，要注意引导学生思考、回答问题，尽量由学生自己体会引入功这个物理量的必要性。
公式的导出：如果以W表示功的大小，F表示力的大小，S表示位移的大小，根据功的定义，功是用来描写力F的作用效果的，显然，力越大，位移越大则力F的作用效果越明显，即W的数值越大，这说明，W与F和S应成某种正比关系，即W=FS，考虑到力和位移都是矢量，都有方向问题，力和位移的方向不相同时怎么办？可以举例说明，这种情况应把力沿着位移的方向以及垂直于位移的方向进行分解，由于在垂直于位移的方向上物体没有位移，所以垂直于位移方向的分力不做功，即对于力对物体的作用效果没有贡献，因此可以得出W=FS cosα(α是力F的方向与位移S的方向的夹角)，力和物体在力的方向上通过的位移是功的两个必要因素，缺一不可。要特别注意，物体受多个力作用时，可以先求合力，再求合力所做的功，也可以先求每一个分力所做的功，再把每一个分力所做的功用代数方法求和得出合力所做的功，这意味着我们计算功的大小时一定要明确是求哪一个力或者哪几个力所做的功。下面分几种情形讨*的物理意义：
1、 物体受外力作用，但静止不动。例如一个人提着一桶水站着不动，或者用力推一辆静止的汽车但没有推动，由于这桶水或汽车的位移S=0，根据W=FS cosα,这人所做的功W=0，尽管这个人费了很大力气，却没有做功，这点可从功的物理意义来理解，因为功是用来描写力F对物体作用的空间累积效应的，由于在力F作用的前后物体的运动状态或者说物体的能量没有发生相应的变化，那桶水或者那辆汽车仍旧在原地，力F对那桶水或者那辆汽车的作用效果为零，即力F对那桶水或者那辆汽车没有做功，W=0。这点要与人们通常说的"做工"或"工作"区分开来：物理上的"功"，仅用于描写力对物体的空间累积效应，是物体运动状态变化的一种量度，比"做工"或"工作"的含义要狭窄得多。
2、 公式W=FS cosα 中S是位移，要与路程区别开来。例如，一个人从地面提起物体又放回原地，那么重力所做的功是多少呢？因为物体又放回原地了，物体位移的大小为零，所以W=0。要注意这里物体所走过的路程不为零。尽管物体曾经改变了运动状态（或者说能量状态），但最终物体回到了原来的运动状态，重力对物体作用的空间累积效应为零，没有改变物体的运动状态，即没有对物体做功。但要注意，有一种情况特别容易混淆：汽车沿直线走一个来回，位移的大小为零，那么根据公式W=FS cosα汽车发动机的动力所做的功是不是为零？从经验上我们就可以判断答案是否定的！错在那里呢？应当注意到汽车发动机动力的方向在汽车去和回当中发生了变化，我们应该把汽车的位移分解为去位移和回位移两段（注意合位移为零），分段应用公式W=FS cosα求动力对汽车所做的功，再分别对两段位移的功求代数和，就会发现动力对汽车所做的功不为零，这说明应用公式W=FS cosα计算功的大小时，要特别注意F在位移过程中方向应保持不变（实际上大小也不能变），前述例子提起物体又放回原地，在位移过程中重力的大小和方向保持不变。
3、 功是标量，不存在方向问题，但有正负之分，当α＞90°时，cosα＜0 , 所以W＜0 ，这就是力F做负功的情形。此时力F的方向大致与物体运动的方向相反，力F是阻碍物体运动的力（这时力F也称为阻力），这时我们说力F对物体做负功，W取负值；或者说运动物体克服阻力做了功，这时W取绝对值。当α＜90°时，cosα＞0 , 所以W＞0 ，这就是力F做正功的情形。此时力F的方向大致与物体运动的方向相同，力F是推动物体运动的力（这时力F也称为动力），当α=90°时，cosα=0 , 所以W=0 ，这说明与位移方向垂直的力不做功。例如一个物体在粗糙的水平面上匀速滑行，动力和摩擦力分别做正功和负功，重力和支持力所做的功为零。从牛顿第二定律来看，方向与物体位移方向相同的力使物体加速，方向与物体位移方向相反的力使物体减速，垂直于位移方向的力对于物体在该位移上的加速度没有影响，从功的观点来看，分别对应于正功、负功和零。
4、 变力所做的功
我们知道的公式 W=FS 仅对做功过程中F大小和方向不变的情况下才是正确的，那么在做功过程中F的大小或方向是变化的情况下，功的大小应该如何计算？在这种情况下，应将位移S细分为许多微小位移dS ，在每段 dS上可近似认为F的大小和方向是不变的，这样F在这段dS上所做的功dW仍可表示为 dW=FdS, 力在每段dS上所做的功dW累加起来就可得到F在整段位移S上所做的功W ，这要用到微积分的知识。
5、 做功与参照物的选择有关
由于W=FS ，位移S的大小与参照物的选择有关，所以功的大小也就与参照物的选择有关。例如，一辆汽车行驶在公路上，如果选取地面做参照物，并且已知发动机的动力为F，则汽车经过一段位移S后，发动机对汽车所做的功W=FS≠0，即从地面看，汽车的运动状态发生了变化，动力对汽车的空间累积效应不为零；如果选取汽车做参照物，则汽车的位移S为零，这样发动机对汽车所做的功W=FS=0，即从汽车看，汽车的运动状态没有发生变化，动力对汽车的空间累积效应为零，这说明做功与参照物的选择有关。
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时间：2023-10-22 20:43
