如何判断这个集合是否是偏序集和是否是Boolean Algebra

发布网友发布时间：2023-08-04 02:27

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热心网友时间：2024-11-24 06:39

格有两种定义，一种是由标准的运算性质定义的，相信你更喜欢另一种——由偏序集与两个元素的上下确界共同定义的——事实上，这两种定义是等价的。

于是，格上的运算可以诱导出对应的偏序关系，如图：

相信你看得懂，这里的first definition和second definition分别对应了基本定义和偏序集引申的定义，具体就不多说了。

回到你这个问题上来，检验一下不难发现(S,。,*)就是一个格——这你最好用标准定义，如果用第二定义就得清楚地定义一个偏序关系——正如你说的，“定义一个东西是否是格，要先看它是否是偏序集，偏序集是有一个关系，但是这个集合定义的两个运算，这并不是一种关系吧？”，这个偏序关系是诱导出来的，你不定义它，它自然就没有。

我不清楚你现在学的是Universal Algebra还是Discrete Mathematics或是其他，但一般的书里对格的定义至少会有第一种标准定义，希望你再仔细看看。

最后来看看Boolean Algebra定义：

在S中代替0和1的分别是1和12，检验一下不难发现B1，B2，B3都是满足的，所以(S,。,*,1,12)就是一个Boolean Algebra。

追问恩。大概明白。就是还有一个问题，定义在那个set的两个操作，哪个对应join（并），meet（交），是不是没有关系的，只是画出来的图上下颠倒而已？

追答格上的两种运算只要存在即可，，，换句话说，只要这两个运算某一个对应能够形成格那就是格，不要求对任意一个对应都满足格的定义。就像群一样，只要你能指定一种运算满足群的定义，那其上即使还有其他运算也没关系，因为对于一个群而言，你不会考虑其他运算。
这个问题中，*就是meet，lcm就是join，已经足以成为格了，你如果非要反过来也没问题，逆向的偏序依然是偏序。