一道高中导数题
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发布时间：2023-07-10 19:17
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时间：2023-07-16 02:21
令y=x^x，则 lny=xlnx
两边同时对x求导得
y'/y=lnx+1
所以
y'=(lnx+1)*y=(lnx+1)*x^x
而且这里还有
结论1
当x∈(0,1/e)时，y'<0，也就是y函数单调递减
当x=1/e时，y'=0，y函数取得极小值，在这里也是最小值 (1/e)^(1/e)
当x∈(1/e,+∞)时，y'>0，也就是y函数单调递增
现在开始解题
令g(x)=f(x)-ax^x，则
g'(x)=lnx+1-a(lnx+1)*x^x=(lnx+1)(1-ax^x)
根据结论1，我们分两种情况讨论
(1)a≤0,
此时对于任意的x>0，1-ax^x>0
所以
当x∈(0,1/e)时，g'(x)<0，也就是y函数单调递减
当x=1/e时，g'(x)=0，y函数取得极小值，在这里也是最小值 -1/e-a*(1/e)^(1/e)
当x∈(1/e,+∞)时，g'(x)>0，也就是y函数单调递增
此时g(x)=0有两个解的充要条件为
-1/e-a*(1/e)^(1/e)<0
所以
-e^(-1+1/e)<a≤0
(2)若0<a<e^(1/e)
此时1-ax^x=0存在两个解且两个解一个小于1/e，一个大于1/e，不妨设两个解分别为u和v且u<1/e,v>1/e
所以
当x∈(0,u)时，g'(x)>0，也就是y函数单调递增
当x=u时，g'(x)=0，y函数取得极大值 ulnu-1<0（因为u<1/e）
当x∈(u,1/e)时，g'(x)<0，也就是y函数单调递减
当x=1/e时，g'(x)=0，y函数取得极小值 -1/e-a*(1/e)^(1/e)
当x∈(1/e,v)时，g'(x)>0，也就是y函数单调递增
当x=v时，g'(x)=0，y函数取得极大值，vlnv-1
当x∈(v,+∞)时，g'(x)<0，也就是y函数单调递减
此时g(x)=0有两个解的充要条件为
vlnv>1
也就是
e^(vlnv)>e
v^v>e
此时1-a*v^v=0
所以
0<a<1/e
(3)若a≥e^(1/e)
此时对于任意的x>0，1-ax^x≤0
所以
当x∈(0,1/e)时，g'(x)>0，也就是y函数单调递增
当x=1/e时，g'(x)=0，y函数取得极大值，在这里也是最大值 -1/e-a*(1/e)^(1/e)
当x∈(1/e,+∞)时，g'(x)<0，也就是y函数单调递减
而
-1/e-a*(1/e)^(1/e)<-1/e<0
所以g(x)恒小于零
无解
综上所述
a∈(-e^(-1+1/e),1/e)
