关于多元函数连续可微偏导的

发布网友发布时间：2023-07-12 19:58

共3个回答

热心网友时间：2024-07-09 01:05

判断这两个函数是否连续，关键就是看lim(x→0,y→0)f(x，y)是否会等于f(0，0)

第一个：证明:
∵lim(x→0,y→0)f(x，y)=lim(x→0,y→0)xy/(x^2+y^2)
不妨取y=kx，代入上式，得
lim(x→0,y→0)(kx^2)/(x^2+k^2*x^2)=k/(1+k^2)≠f(0,0)=0
因此该极限不存在，从而函数f(x，y）在(0,0)处不连续。

第二个：证明：
∵lim(x→0,y→0)f(x，y)=lim(x→0,y→0)(x^2*y)/(x^2+y^2)
其中，0≤|(x^2*y)/(x^2+y^2)|≤|y|≤√(x^2+y^2)
因为lim(x→0,y→0)√(x^2+y^2)=0
由夹*准则可知
lim(x→0,y→0)(x^2*y)/(x^2+y^2)=0=f(0,0)
因此，函数f(x，y）在(0,0)处连续。

热心网友时间：2024-07-09 01:05

共有四个概念：连续，可偏导，可微，连续可偏导，它们的约束力是越来越强的。
连续不一定可偏导，可偏导不一定连续；
即连续有可偏导推不出可微，可微可推出连续和可偏导；
可微推不出偏导数连续，偏导数连续可推出可微。

热心网友时间：2024-07-09 01:06

第一题可以取y=kx,则极限为 k/（1+k^2），随k值变化即不存在，所以不连续。
第二题令x=r*cos(t),y=r*sin(t);则abs（f2(x,y)-f2(0,0))=abs(r*cos(t)^2*sin(t))<r
对于任何d>0,只要0<r<d就能保证abs(f2(x,y)-f2(0,0))<r<d，故该点连续。

关于多元函数连续 可微偏导的

关于多元函数连续可微偏导的