求幂级数的问题?将函数f(x)=arctan(2x)展开为幂级数

f(x) = arctan2x ,f'(x) = 2/[1+(2x)^2] = 2∑<n=0, ∞>(-1)^n(2x)^(2n)= ∑<n=0, ∞>(-1)^n·2^(2n+1)·x^(2n)-1 < (2x)^2 < 1, -1/2 < x < 1/2.f(x) = ∫<0, x>f'(t)dt + f(0)= ∫<0, x>∑<n=0, ∞>(-1)^n·2^(2n+...

f(x)=arctan(2x)f'(x)=2/(1+x^2)=2Σ(0,+∞)(-x^2)^n=2Σ(0,+∞)(-1)^n * x^(2n) |x|<1 积分得：f(x)=2Σ(0,+∞)(-1)^n/(2n+1) * x^(2n+1)当x=1和-1时，为收敛的交错级数。故：f(x)=2Σ(0,+∞)(-1)^n/(2n+1) * x^(2n+1) |x|...

【答案】：因，|x|＜1，则 即 ，|x|≤1 取x=1，则有

利用已知幂级数 1/(1+x) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^n)，-1<x<1。这样，1/(1+x^2) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^2n)，-1<x<1。arctanx = ∫[0,x][1/(1+t^2)]dt = Σ(n=0~∞) ∫[0,x][(-1)^n](t^2n)dt = Σ(n=0~∞)[(-1)^n][x^(2n+1)]/...

1、arctanx的麦克劳林级数展开式，必须分三段考虑：－∞≤ x ≤-1、－1 < x < +1、1 < x < +∞ 2、分成三段的原因是：(1)、在展开过程中，必须先求导，再积分；(2)、在求导跟积分之间，必须运用公比小于1的无穷等比数列求和公式；(3)、运用等比求和公式时，必须考虑收敛与否，因此必须分成...

1、arctanx 的麦克劳林级数展开式，必须分三段考虑：-∞ ≤ x ≤ -1、-1 < x < +1、1 < x < +∞ 2、分成三段的原因是：(1)、在展开过程中，必须先求导，再积分；(2)、在求导跟积分之间，必须运用公比小于1的无穷等比数列求和公式；(3)、运用等比求和公式时，必须考虑收敛与否，因此必须...

思路是先求导,利用导数的幂级数展开式,然后对导数的展开式进行积分即可 (arctanx)'=1/(1+x^2)=∑(-1)^n(x)^(2n)然后再对上式积分 arctanx=(-1)^n[x+x^3/3+...+x^(2n+1)/(2n+1)+...]

解题如下：幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

arctan x=x-(x^3)/3+···+[(-1)^(n-1)]x^(2n-1)/(2n-1)+··· (|x|≤1)(详细内容：证明见，百度---文库---函数展成幂级数---例4)

xarctanx展开为x的幂级数：因为arctanx的导数是1/1＋xxFFFD;0�5，而1/1＋x�0�5=1-x�0�5+x^4-……+（-1)^nx^n……=∑（-1）^nx^n (n=0,1,2,3,4……）然后将1/1＋x�0�5=1-x�...