直线与平面垂直的判定定理是什么?
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发布时间：2023-09-18 06:52
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时间：2023-09-21 04:49
判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直，则l⊥面S
假设l不垂直于面S，则要么l∥S，要么斜交于S且夹角不等于90。
当l∥S时，则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时，过l任意作一个平面R与S交于m，则由线面平行的性质可知m∥l
∴m⊥AB
又∵l⊥CD
∴m⊥CD
∴AB∥CD，与已知条件矛盾。
当l斜交S时，过交点在S内作一直线n⊥l，则n和l构成一个新的平面T，且T和S斜交（若T⊥S，则n是两平面交线。由面面垂直的性质可知l⊥S，与l斜交S矛盾）。
∵l⊥AB
∴AB∥n
∵l⊥CD
∴CD∥n
∴AB∥CD，与已知条件矛盾。
综上，l⊥S
扩展资料
性质：已知平面α和一点P，求证过P垂直于α的直线有且只有一条。
当P在平面外时，假设过P有两条直线m、n都与α垂直，不妨设垂足为M、N。由于m∩n=P，那么m和n确定一个平面β。不难证明α∩β=MN。
∵m⊥α，n⊥α
∴m⊥MN，n⊥MN。这样一来，在β内就有PM、PN与MN都垂直，与平面内的垂线公理（其实是定理，因为可以依靠欧式几何的公理证明）矛盾。
类似地可证明当P在平面上时也能推出矛盾。
参考资料来源：百度百科-线面垂直
