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关于两道二重积分的题

发布网友 发布时间:2023-09-07 23:05

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热心网友 时间:2023-09-17 13:26

答案第一题:24π 第二题、曲面积分形式:∫∫_(Σ) dS 二重积分形式:∫∫_(D) a/√(a2 - x2 - y2) dxdy 最后数值:a2(π - 2) 第一题: z = √(9 - x2 - y2),1 ≤ z ≤ 3 z'x = - x/√(9 - x2 - y2),z'y = - y/√(9 - x2 - y2) dS = √[ 1 + (x2 + y2)/(9 - x2 - y2) ] = 3/√(9 - x2 - y2) 取z = 1,D为x2 + y2 ≤ 8 ∫∫_(Σ) (2x + z) dS,Σ关于xy轴都对称,而x是奇函数,所以∫∫_(Σ) x dS = 0 = ∫∫_(Σ) z dS = ∫∫_(D) √(9 - x2 - y2) * 3/√(9 - x2 - y2) dxdy = 3∫∫_(D) dxdy = 3 * 8π = 24π 第二题:取Σ为z = √(a2 - x2 - y2),取D为x2 + y2 = ax z'x = - x/√(a2 - x2 - y2),z'y = - y/√(a2 - x2 - y2) dS = √[ 1 + (x2 + y2)/√(a2 - x2 - y2) ] = a/√(a2 - x2 - y2) 把D化为极坐标形式:r = a cosθ,- π/2 ≤ θ ≤ π/2 曲面面积为 ∫∫_(Σ) dS <-- 这是曲面积分形式 = ∫∫_(D) a/√(a2 - x2 - y2) dxdy <-- 这是二重积分形式 = a∫(-π/2,π/2) dθ ∫(0,a cosθ) 1/√(a2 - r2) * r dr,继续化简 = a∫(-π/2,π/2) [ - √(a2 - r2) ]|(0,a cosθ) dθ = a∫(-π/2,π/2) a ( 1 - |sinθ| ) dθ = a2 * 2∫(0,π/2) ( 1 - sinθ ) dθ = 2a2 * (π - 2)/2 = a2(π - 2)
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