求高中所有的三角函数公式,挨点边的都行
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发布时间：2022-04-26 00:03
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时间：2023-07-16 05:02
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时间：2023-07-16 05:03
sinα ·cscα=1
cosα·secα=1
商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
平方关系：
一个特殊公式
（sina sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a θ）*sin（a-θ）
证明：（sina sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[（θ a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ a)/2] sin[(a-θ）/2]
=sin（a θ）*sin（a-θ）正弦：sinα=∠α的对边/∠α 的斜边
余弦：cosα=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tanα=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cotα=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦
正切
tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A））
三倍角公式
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin（π/3 α）sin（π/3-α）
cos3α=4cosα·cos（π/3 α）cos（π/3-α）
tan3a = tan a · tan（π/3 a）· tan（π/3-a)
三倍角公式推导
sin（3a)
=sin(a 2a)
=sin2acosa cos2asina
=2sina（1-sin^2a) （1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos（2a a)
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina（3/4-sina)
=4sina[（√3/2）-sina]
=4sina(sin60°-sina)
=4sina(sin60° sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[（60 a)/2]cos[（60°-a)/2]*2sin[（60°-a)/2]cos[（60°-a)/2]
=4sinasin（60° a)sin（60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cosa-3/4）
=4cosa[cosa-（√3/2）^2]
=4cosa(cosa-cos30°）
=4cosa(cosa cos30°）（cosa-cos30°）
=4cosa*2cos[(a 30°）/2]cos[(a-30°）/2]*{-2sin[(a 30°）/2]sin[(a-30°）/2]}
=-4cosasin(a 30°）sin(a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90° （60° a)]
=-4cosacos（60°-a)[-cos（60° a)]
=4cosacos（60°-a)cos（60° a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a)tan（60° a)
现列出公式如下：
sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/（1-tan^2（α）） cos2α=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）
可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用，包括在一些图像问题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin（π/3 α）sin（π/3-α）
cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos（π/3 α）cos（π/3-α）
tan3α=tan（α）*(-3 tan（α）^2）/(-1 3*tan（α）^2）=tan a · tan（π/3 a）· tan（π/3-a)
半角公式
sin^2（α/2）=（1-cosα）/2
cos^2（α/2）=（1 cosα）/2
tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1 cosα）
tan（α/2）=sinα/（1 cosα）=（1-cosα）/sinα
万能公式
sinα=2tan（α/2）/[1 tan^2（α/2）]
cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1 tan^2（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]
其他
sinα sin（α 2π/n) sin（α 2π*2/n) sin（α 2π*3/n) …… sin[α 2π*(n-1）/n]=0
cosα cos（α 2π/n) cos（α 2π*2/n) cos（α 2π*3/n) …… cos[α 2π*(n-1）/n]=0 以及
sin^2（α） sin^2（α-2π/3） sin^2（α 2π/3）=3/2
tanAtanBtan(A B) tanA tanB-tan(A B)=0
四倍角公式
sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
cos4A=1 (-8*cosA^2 8*cosA^4）
tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2 tanA^4）
五倍角公式
sin5A=16sinA^5-20sinA^3 5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3 5cosA
tan5A=tanA*（5-10*tanA^2 tanA^4）/（1-10*tanA^2 5*tanA^4）
六倍角公式
sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA 1）*（2*sinA-1）*(-3 4*sinA^2））
cos6A=((-1 2*cosA)*（16*cosA^4-16*cosA^2 1））
tan6A=(-6*tanA 20*tanA^3-6*tanA^5）/(-1 15*tanA-15*tanA^4 tanA^6）
七倍角公式
sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7 64*sinA^6））
cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4 64*cosA^6-7））
tan7A=tanA*(-7 35*tanA^2-21*tanA^4 tanA^6）/(-1 21*tanA^2-35*tanA^4 7*tanA^6）
八倍角公式
sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*(-8*sinA^2 8*sinA^4 1））
cos8A=1 （160*cosA^4-256*cosA^6 128*cosA^8-32*cosA^2）
tan8A=-8*tanA*(-1 7*tanA^2-7*tanA^4 tanA^6）/（1-28*tanA^2 70*tanA^4-28*tanA^6 tanA^8）
九倍角公式
sin9A=(sinA*(-3 4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4 36*sinA^2-3））
cos9A=(cosA*(-3 4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4 36*cosA^2-3））
tan9A=tanA*（9-84*tanA^2 126*tanA^4-36*tanA^6 tanA^8）/（1-36*tanA^2 126*tanA^4-84*tanA^6 9*tanA^8）
十倍角公式
sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA^2 2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-20*sinA^2 5 16*sinA^4））
cos10A = ((-1 2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6 304*cosA^4-48*cosA^2 1））
tan10A = -2*tanA*（5-60*tanA^2 126*tanA^4-60*tanA^6 5*tanA^8）/(-1 45*tanA^2-210*tanA^4 210*tanA^6-45*tanA^8 tanA^10）
N倍角公式
根据棣美弗定理，（cosθ i sinθ）^n = cos(nθ） i sin(nθ）
为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c
考虑n为正整数的情形：
cos(nθ） i sin(nθ） = (c i s)^n = C(n,0)*c^n C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 C(n,4）*c^(n- 4）*(i s)^4 ... … C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 ... …=>；比较两边的实部与虚部
实部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 ... …i*
虚部：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 ... …
对所有的自然数n：
⒈cos(nθ）：
公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。
⒉sin(nθ）：
⑴当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就是sinθ）表示。
⑵当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cosθ）的一次方无法消掉。
例. c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2）
半角公式
tan(A/2）=（1-cosA)/sinA=sinA/（1 cosA)
sin^2(A/2）=[1-cos(A)]/2
cos^2(A/2）=[1 cos(A)]/2
半角公式
两角和公式
两角和公式
cos（α β）=cosαcosβ-sinαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ sinαsinβ
sin（α β）=sinαcosβ cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ -cosαsinβ
tan（α β）=(tanα tanβ）/（1-tanαtanβ）
tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1 tanαtanβ）
cot(A B) = (cotAcotB-1）/(cotB cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB 1）/(cotB-cotA)
三角和公式
sin（α β γ）=sinα·cosβ·cosγ cosα·sinβ·cosγ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α β γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α β γ）=(tanα tanβ tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）
和差化积
sinθ sinφ =2sin[（θ φ）/2] cos[（θ-φ）/2]
和差化积公式
sinθ-sinφ=2cos[（θ φ）/2] sin[（θ-φ）/2]
cosθ cosφ=2cos[（θ φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
cosθ-cosφ= -2sin[（θ φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
tanA tanB=sin(A B)/cosAcosB=tan(A B）（1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B）（1 tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ=-[cos（α β）-cos（α-β）] /2
cosαcosβ=[cos（α β） cos（α-β）]/2
sinαcosβ=[sin（α β） sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α β）-sin（α-β）]/2
双曲函数
sh a = [e^a-e^(-a)]/2
ch a = [e^a e^(-a)]/2
th a = sin h(a)/cos h(a)
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ α）= sinα
cos（2kπ α）= cosα
tan（2kπ α）= tanα
cot（2kπ α）= cotα
公式二：
设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π α）= -sinα
cos（π α）= -cosα
tan（π α）= tanα
cot（π α）= cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2 α）= cosα
cos（π/2 α）= -sinα
tan（π/2 α）= -cotα
cot（π/2 α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2 α）= -cosα
cos（3π/2 α）= sinα
tan（3π/2 α）= -cotα
cot（3π/2 α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα
（以上k∈Z)
A·sin（ωt θ） B·sin（ωt φ） =
√{(A 2ABcos（θ-φ）} · sin{ωt arcsin[ (A·sinθ B·sinφ） / √{A^2 B^2 2ABcos（θ-φ）}
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时间：2023-07-16 05:03
