椭圆的参数方程怎样应用??请举个例子
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发布时间：2022-04-26 00:17
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时间：2023-10-22 12:36
的参数方程是
(α是参数，
)。
特别地，以点(
)为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是
(α是参数，r>0)。
一、求椭圆的内接多边形的周长及面积
例1
求椭圆
的内接矩形的面积及周长的最大值。
解:如图，设椭圆
的内接矩形在第一象限的顶点是A(
)(
)，矩形的面积和周长分别是S、L。
，
当且仅当
时，
，
，此时α存在。
二、求轨迹
例2
已知点A在椭圆
上运动，点B(0，9)、点M在线段AB上，且
，试求动点M的轨迹方程。
解:由题意知B(0，9)，设A(
)，并且设M(x，y)。
则
，
动点M的轨迹的参数方程是
(α是参数)，
消去参数得
。
三、求函数的最值
例3
设点P(x，y)在椭圆
，试求点P到直线
的距离d的最大值和最小值。
解:点P(x，y)在椭圆
上，设点P(
)(α是参数且
)，
则
。
当
时，距离d有最小值0，此时椭圆
与直线
相切;当
时，距离d有最大值2。
四、求解有关离心率等入手比较困难的问题
例4
椭圆
与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。
解:设椭圆
上的点P的坐标是(
)(α≠0且α≠π)，A(a，0)。
则
。而OP⊥AP，
于是
，整理得
解得
(舍去)，或
。
因为
，所以
。可转化为
，解得
，于是
。故离心率e的取值范围是
。
