如何证明两个奇数的平方和不是完全平方数?

发布网友发布时间：2023-08-30 14:56

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热心网友时间：2023-09-01 03:40

首先我们知道奇数的平方除于4余1 ，偶数的平方除于4余0.
所以两个奇数的平方和除于4余2，
如果这两个奇数的平方和是奇数的完全平方数，则余数该为1，
如果这两个奇数的平方和是偶数的完全平方数，则余数该为0.
但是2既不是1也不是0.
所以两个奇数的平方和既不是奇数的完全平方数，也不是偶数的完全平方数，
所以两个奇数的平方和不是完全平方数。

用数论知识可能看起来更清楚：
如果a是奇数，则a^2=1(mod4)
如果a是偶数，则a^2=0(mod4)
所以对于任意一个数，它的完全平方数除于4只能是余1或者余0.
所以如果 a，b都是奇数，则a^2+b^2=2(mod4),
而任意数的平方不可能除于4余2。
所以如果 a，b都是奇数，则a^2+b^2不是一个平方数。