帮帮忙,如何理解诱导公式

发布网友发布时间：2022-04-25 14:55

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热心网友时间：2023-10-10 04:45

教学目标 
 
1．通过本节课的教学，使学生掌握诱导公式的推导方法和记忆方法． 
 
2．会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明． 
 
3．培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识． 
 
教学重点与难点 
 
诱导公式的推导． 
 
教学过程设计 
 
师：我们前面学习过诱导公式一，请说出诱导公式一及其文字叙述．它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么？ 
 
生：（学生口述的同时，教师板书诱导公式一．） 
 
sin（k·360°+α）=sinα，cos（k·360°+α）=cosα， 
 
tan（k·360°+α）=tanα，cot（k·360°+α）=cotα． 
 
（k∈Z） 
 
文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等． 
 
它在转化任意角的三角函数中所起的作用是：把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0°～360°（或0～2π）之间角的三角函数值的问题． 
 
师：（副板书）试求出sin2016°的值． 
 
生：由公式一， 
 
sin2016°=sin（5×360°×216°）=sin216°． 
 
（至此，绝大多数同学已无法再演算下去了．） 
 
（以旧知识的复习，导出新的问题，使学生新的求知欲得到激发，渴望得到回答，以达到以旧带新，以旧拓新的目的．） 
 
师：能否导出一些新的公式来解决这类问题？可先看这道具体问题如何求解．我们知道0°～90°之间的角的三角函数值可以通过查表求得．那么，能否借助一个工具，在0°～90°之间找到一个角α，把求sin216°的值的问题转化为求α角的三角函数值问题？（进一步诱导，使学生进入愤悱状态．） 
 
师：（投影图1）216°角的终边OP在第三象限内，将OP反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°～90°之间找到一个角α=216°-180°=36°．由于△OPM≌△OP′M′，所以有MP=M′P′．又因为sin216°=MP，sin36°=M′P′，而MP与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°．这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题． 
 
你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？（向“公式化”过渡．实际上我们先经过了一次将三角问题几何化——利用正弦线．） 
 
生：sin216°=sin（180°+36°）=-sin36°． 
 
师：180°～270°之间角的余弦函数问题，是否也可以通过这种变换，转化为求α角在0°～90°之间的三角函数问题？（迁移作用） 
 
（师适当提示：观察余弦线的数量关系．） 
 
 
 
生：…… 
 
师：180°～270°之间角的正切、余切函数的求值问题，是否也可以通过这样的变换转化求值？ 
 
（师适当提示：方法1，仍通过三角函数线观察出结果；方法2， 
 
 
 
生：…… 
 
师：可见180°～270°之间角的三角函数求值问题都可以通过类似的变换求出三角函数的值．能否把这种变换求值的方法，总结成公式形式？ 
 
（从具体问题的求解，到公式的形成是一种质的飞跃．） 
 
师：（适当提示：先把180°～270°之间的角用α（α是0°～90°之间的角）表示出来．） 
 
生：（板书） 
 
sin（180°+α）=-sinα，cos（180°+α）=-cosα， 
 
tan（180°+α）=tanα，cot（180°+α）=cotα． 
 
师：这组公式通常称为诱导公式二．观察其结构特征：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°+α角所在象限（第三象限）角的原三角函数值的符号相同．（为总结公式的记忆方法打基础．） 
 
师：任意角的三角函数值问题，可以由公式一化为0°～360°之间角的三角函数值问题；180°～270°之间角的三角函数值，又可通过诱导公式二化为0°～90°之间角的三角函数值，从而得出函数值；那么90°～180°、270°～360°之间的角的三角函数值问题，能否转化为0°～90°之间角的三角函数值来求出解答？（横向联想，公式二的归纳过程，会对学生的思维产生正向的影响．） 
 
（师提示：由对称性找出角的终边间的关系，再证出三角函数线的数量关系，正切、余切函数的诱导公式可由同角三角函数的基本关系式推出．） 
 
 
 
生：……（讨论的同时，完成图2．） 
 
师：（板书） 
 
sin（-α）= 
， cos（-α）= 
， 
 
tan（-α）= 
， cot（-α）= 
． 
 
 
生：（板书完成） 
 
sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα， 
 
tan（-α）=-tanα，cot（-α）=-cotα． 
 
（及时评价、反馈．） 
 
师：这组公式通常称为诱导公式三．观察其结构特征：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与-α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同． 
 
师：（板书） 
 
sin（180°-α）= 
， cos（180°-α）= 
， 
 
tan（180°-α）= 
， cot（180°-α）= 
． 
 
 
生：（完成板书） 
 
sin（180°-α）=sinα，cos（180°-α）=-cosα， 
 
tan（180°-α）=-tanα，cot（180°-α）=-cotα． 
 
（师及时评价、反馈．） 
 
师：这组公式通常称为诱导公式四．观察其结构特征：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°-α所在的第二象限角的原三角函数值的符号相同． 
 
师：由于360°-α角与-α角的终边相同，它们的同一三角函数值相等，所以有（板书） 
 
sin（360°-α）=-sinα，cos（360°-α）=cosα， 
 
tan（360°-α）=-tanα，cot（360°-α）=-cotα． 
 
师：目前，连同公式一，我们一共得到了五组诱导公式，利用它们，可以求出任意角的三角函数值．为使公式更具一般性，不妨大胆猜测：若公式中的角α为任意角，公式是否仍能成立？（推广到一般性．） 
 
生：…… 
 
师：大胆猜测，还要小心求证．没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步；（鼓励猜想），没有经过证明的结论总是危险的．我们可先以公式二为例，证明究竟谁猜的对．（要证明猜测的结论，学生情绪进一步高涨．） 
 
师：（投影图3） 
 
 
 
生：…… 
 
（师提示：可先由三角函数线或由三角函数定义，推出sin（180°+α）与sinα，cos（180°+α）与cosα的数量关系，再用同角三角 
 
 
 
师：由此可见，α为任意角时，公式二仍然成立．类似于公式二的推证方法，可以证明公式三也成立．而180°-α可以写成180°+（-α），360°-α又与-α角终边相同，容易推出，对任意角α，公式三、四、五也都成立．验证过程由同学们在课下完成． 
 
（给学生留有细心体验发现的空间．） 
 
（到此完成了又一次的升华．） 
 
师：本节课推得的公式较多，如何记忆这些公式呢？（机械记忆显然不可行．）由推证公式的过程可知，其结构具有一定的规律性：①等号两边的函数名称相同；②符号规律：把α看作锐角时，等号右边的符号与k·360°+α（k∈Z）（第一象限角）、-α（第四象限角）、180°+α（第三象限角）、180°-α（第二象限角）、360°-α（第四象限角）所在象限的原三角函数值的符号相同．（可回顾图2） 
 
综上所述，这些公式可以概括如下： 
 
k·360°+α（k∈Z），-α，180°±α，360°-α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 
 
 
 
师：（投影图4，用红色标出x轴）由于把α看作锐角时，k·360°+α，180°±α，-α，360°-α均可看作由x轴出发加或减α得到的，所以这五组诱导公式又可称为“水平诱导”公式．按如下方法记忆： 
 
水平诱导名不变；符号看象限． 
 
师：下面给大家半分钟，体会上述记忆方法并考虑用弧度制如何表示上述公式？ 
 
生：…… 
 
（师个别提问．及时反馈．这样可提高学生的学习积极性和学习效率．） 
 
师：用诱导公式都可以解决哪些问题？（自问自答） 
 
作用1：求值．一般可按如下步骤进行： 
 
 
 
以上步骤可简化为： 
 
负化正；正化主；主化锐角可查表． 
 
（0°～360°之间的角α叫做主值或主角） 
 
例1 求下列各三角函数值． 
 
 
 
解 
 
 
 
 
 
再由诱导公式一“正化主”，注意去掉的是2kπ即12π，而不能去掉 
 
 
 
（2）tan2025°=tan（5×360°+225°）=tan225°=tan（180°+45°）=tan45°=1． 
 
师：新学公式，不得跳步．（3）、（4）小题请同学完成．（各请一位同学板演，同时教师巡视．） 
 
（3）cos（-519°）=cos519°=cos（360°+159°）=cos159° 
 
=cos（180°-21°）=-cos21°=-0.9336． 
 
 
 
（及时反馈．） 
 
师：运用熟练后，还可以总结出简炼快捷的求值方法．（提出更高的目标．由公式指导实践是质的又一次升华．） 
 
作用2：化简或证明．可把复杂问题化简单，直到解决问题． 
 
例2 
 
 
 
tan（-α）． 
 
分析：本题既要看代数结构，三角结构，还要观察角的结构．请同学观察： 
 
（1）各项均与角α有关，所以先用诱导公式化简为同角的三角函数； 
 
（2）需求sinα，cosα，tanα的值； 
 
（3）求和可得到解答． 
 
解 
 
 
 
 
 
（说明：以上过程可由学生先解，然后老师及时反馈．） 
 
例3 求证： 
 
 
 
师：请同学注意观察此题的代数结构、三角结构和角的结构，然后独立完成．（一名同学板演，同时老师巡视．） 
 
证 
 
 
 
 
 
=1． 
 
（师及时反馈．） 
 
师：（小结）诱导公式（二）～（五）的推导方法类似，应抓住角的终边位置对称（关于原点、y轴、x轴对称）的特点及三角函数的数量关系、同角三角函数的关系． 
 
记忆公式，要把握五组公式的结构特征： 
 
（1）函数名称关系：函数名相同； 
 
（2）符号规律：公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号．（回顾图2-7） 
 
记忆：水平诱导名不变；符号看象限． 
 
应用：（1）计算求值．步骤可简单记为：负化正，正化主，主化锐角可查表．（2）化简证明．要分析题目的三个结构——代数结构、三角结构和角的结构． 
 
希望同学们今后在不断的应用实践中，总结出更简捷的方法和解题步骤．（鼓励学生不断实践和总结，以达到更好地使公式内化的目的．） 
 
课堂练习：课本P158练习第3题． 
 
课外题：课本P163习题十三第4．（1）～（4），第5题． 
 
课堂教学设计说明 
 
一、本节课的教学过程： 
 
1．复习旧知识，引出新课； 
 
2．由sin216°的求值过程，引导学生发现推证公式的方法和途径； 
 
3．将解题过程抽象化、概括化，推出公式sin（180°+α）=-sinα．（其中α为0°～90°之间的角） 
 
4．类比推出公式二，从而推出公式三、四、五； 
 
5．推广到任意角并加以证明； 
 
6．找规律，谈记忆； 
 
7．讲应用，说方法； 
 
8．例题、小结、练习、作业． 
 
二、本节课的指导思想： 
 
课本上采用的是直接给出90°～180°，180°～270°，270°～360°之间的角，可以用180°-α，180°+α，360°-α（0°≤α≤90°）来表示，然后加以证明出结论．其简捷、节约时间的特点是显而易见的．但总有一种把知识作为“结果”传授给学生的感觉，学生只要接受、反复练习就算完成了“内化”的过程．而利用环节1～5，把从实践经验（解题）上升到理论高度（公式），再由理论（公式）去指导实践（解题）的过程，展现给学生；也使学生的数学思想和数学意识得到了提高；培养了学生“发现”问题．“解决”问题的能力． 
 
美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动．”思维永远是从问题开始的．所以本节课采用了逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去“发现”的方法，使学生始终处在兴趣盎然的状态，课堂气氛活跃． 
 
另外，本节课公式的验证方法，是以学生已经掌握了“三角函数线”为基础的，这样可以加强几何直观，便于理解和应用．在环节4，先推出诱导公式在0°～360°范围内成立的目的是：便于发现公式的结构特征，理解求值的步骤，以便学生掌握和熟练应用．

热心网友时间：2023-10-10 04:45

什么诱导公式?
你没讲清楚