高一不等式y=(x^4)(1-x³),x∈(0,1),求最大值
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发布时间：2023-08-10 21:08
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热心网友
时间：2024-11-29 22:48
y³=x³·x³·x³·x³·(1-x³)·(1-x³)·(1-x³)
=(4/3)^4·(3/4)x³·(3/4)x³·(3/4)x³·(3/4)x³·(1-x³)·(1-x³)·(1-x³)
≤(4/3)^4·[(4(3/4)x³+3(1-x³))/7]^7
=(4/3)^4·(3/7)^7
∴y≤(4/3)·(3/7)²·(4/3·3/7)^(1/3)
=(12/49)·(4/7)^(1/3).
∴(3/4)x³=1-x³即x=(4/7)^(1/3)时，
所求最大值为: (12/49)·(4/7)^(1/3)。
也可用三角代换法或求导数方法求解。追问x的四次方怎么拆的？
追答两边三次方后，y³=x^12·(1-x³)³=x³·x³·x³·x³·(1-x³)·(1-x³)·(1-x³).可见，要用七元均值不等式.但要变形一下，使前4个x³与后面三个1-x³相加消去x³使其和为常数，使其满足“一正二定三相等”这条件.事实上，(3/4)x³+(3/4)x³+(3/4)x³+(3/4)x³+(1-x³)+(1-x³)+(1-x³)=3x³+3-3x³=3(定值).故进一步将原式变形为:y³=(4/3)^4·(3/4)x³·(3/4)x³·(3/4)x³·(3/4)x³·(1-x³)·(1-x³)·(1-x³)。右边使用七元均值不等式后，再两边开三次方，则OK了!
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时间：2024-11-29 22:48
