证明勾股定理的方法5种

发布网友发布时间：2023-08-13 19:37

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热心网友时间：2024-09-13 14:39

勾股定理证明方法有：正方形面积法、赵爽弦图验证法、梯形证明法、欧几里得证明法、面积割补法等。

勾股定律是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方，它是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是数形结合的纽带之一。

正方形面积法

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成两个正方形。发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为(a+b)的正方形;四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为(a+b)的正方形，所以可以看出以上两个大正方形面积相等。

赵爽弦图验证法

大正方形可以看成边长为c的正方形，也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为（a-b），S大正方形=ab x 4+（a-b），同时也有S=c²，所以,abx4+（a-b）²=c2，整理得 a²+b²=c2。

欧几里得验证法

证明：设ΔABC为一直角三角形，其直角为<CAB。其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形 CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。分别连接 CF、AD，形成ΔBCF、ΔBDA。

<CAB和<BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。<CBD和<FBA都是直角，所以<ABD=<FBC。因为AB=FB，BD=BC，所以ΔABD≌ΔFBC。因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2ABD。因为C、A和G在同一直线上，所以正方形 BAGF=2ΔFBC,因此四边形BDLK=BAGF=AB。同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC2。

把这两个结果相加，AB²+AC2=BDxBK+KLx KC由于BD=KL ， BDxBK+KLxKC=BD（BK+KC）=BDxBC，由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC2，即a²+b²=c²。

面积割补验证法

因为S正方形CDEF=S正方形MNOP，而S正方形CDEF

=c2+4x2ab，S正方形MNOP=a²+b2+4x 2ab所以a²+b²=c2。