设F(x)=∫(x到x+2π) sinte^sintdt,则F(x)为正数.为什么?
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发布时间：2023-08-23 06:31
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时间：2023-10-05 23:43
sint*e^sintdt
=∫(0到2π)
sint*e^sintdt
不明白的话对F(x)求导，
得到
F'(x)=
sin(x+2π)e^sin(x+2π)
-
sinx
*e^sinx=0，
一阶导数为0，
即F(x)是一个常数，与变量x无关
那么
F(x)=∫(0到2π)
sint*e^sintdt
=∫(0到π)
sint*e^sintdt
+
∫(π到2π)
sint*e^sintdt
对于∫(π到2π)
sint*e^sintdt，
令t'=t-π，故
∫(π到2π)
sint*e^sintdt
=∫(0到π)
sin(t'+π)*e^sin(t'+π)
dt'
=∫(0到π)
-sint'
*e^(-sint'
)
dt'
定积分与变量无关，
所以
F(x)
=∫(0到π)
sint*e^sintdt
+
∫(π到2π)
sint*e^sintdt
=∫(0到π)
sint*e^sintdt
-
∫(0到π)
sint
*e^(-sint)
dt
=∫(0到π)
sint*
[e^sint
-e^(-sint)]
dt
显然在区间0到π上sint都是大于等于0的，
而sint大于-sint，即e^sint
-e^(-sint)也是大于等于0的
所以
F(x)一定为正数
