y=∫0→x+(x-t)²ftdt+求dy
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发布时间：2023-08-23 06:31
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时间：2024-12-06 14:32
😳问题 :∫(0->x)(x-t)^2 f(t) dt 求dy
👉定积分定义：
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式
∑(i:1->n) f(ξi)△xi
。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分
要求 dy ，利用 dy = (dy/dx). dx
『例子一』y= x^2, dy/dx =2x,=> dy = 2x dx
『例子二』y= sinx,dy/dx =cosx, => dy = cosx dx
『例子三』y= 2x,dy/dx =2,=> dy = 2dx
👉： 求 y=∫(0->x)(x-t)^2 f(t) dt ， dy =？
y=∫(0->x)(x-t)^2 f(t) dt
展开(x-t)^2
=∫(0->x) (x^2-2xt +t^2)f(t) dt
抽出常数x
=x^2.∫(0->x) f(t) dt -2x∫(0->x) tf(t) dt +∫(0->x) t^2.f(t) dt
两边求导
dy/dx
=x^2.f(x) +2x∫(0->x) f(t) dt -2x^2.f(x) -2∫(0->x) f(t) dt + x^2.f(x)
化简
=2x.(1-x)∫(0->x) f(t) dt
两边乘以 dx
dy = 2x.(1-x)∫(0->x) f(t) dt dx
😄: 结果 dy = 2x.(1-x)∫(0->x) f(t) dt dx
