记Cn=anbn求数列{Cn}的前n项和Tn

发布网友 发布时间：2023-08-23 09:48

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热心网友 时间：2024-11-29 17:12

等差数列与等比数列相乘再求和
Tn=1×3/2^1+3×3/2^2+5×3/2^3+……+(2n-1)×3/2^n ①
两边同乘公比1/2（题目写的不太清楚，如果公比是3/2，方法是一样的）
(1/2)×Tn=(1/2)×1×3/2^1+3×(1/2)×3/2^2+(1/2)×5×3/2^3+……+(1/2)×(2n-1)×3/2^n
(1/2)×Tn=1×3/2^2+3×3/2^3+5×3/2^4+……+(2n-1)×3/2^(n+1) ②
①-②
(1/2)×Tn=3/2^1+[2×3/2^2+2×3/2^3+……+2×3/2^n]-(2n-1)×3/2^(n+1)
中括号内是等比数列
(1/2)×Tn=3/2^1+(3/2)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)×3/2^(n+1)
(1/2)×Tn=3/2+3-12/2^(n+1)]-(2n-1)×3/2^(n+1)
(1/2)×Tn=9/2-(2n+3)×3/2^(n+1)
Tn=9-3×(2n+3)/2^n

热心网友 时间：2024-11-29 17:12

如果题目没有看错的话，实际上就是求cn=(2n-1)*3/(2^n)的前n项和
易知Tn=1*3/2+3*3/(2^2)+5*3/(2^3)+......+(2n-1)*3/(2^n) 式一
1/2*Tn= 1*3/(2^2)+3*3/(2^3)+......+(2n-3)*3/(2^n) +(2n-1)*3/(2^(n-1)) 式二
然后错位相减 式一减式二 得1/2Tn=3/2+2*3*(1/2^2+1/2^3+...+1/2^n) -(2n-1)*3/2^(n+1)

然后Tn=9-12(1/2)^n-(2n-1)*3/2^n

热心网友 时间：2024-11-29 17:13

(1)a1=S1=3
n>=2
时
an=Sn-S(n-1)=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1
所
an=2n+1
又
b1=a1/2=3/2
b3=b1/(a3-a1)=(3/2)/(7-3)=3/8
因此
q^2=b3/b1=1/4
得
q=1/2
(舍去
-1/2)
因此
bn=3/2*(1/2)^(n-1)=3/2^n
(2)cn=anbn=3(2n+1)/2^n
Tn=9/2+15/2^2+21/2^3+...........+3(2n+1)/2^n
2Tn=9+15/2+21/2^2+.......+3(2n+1)/2^(n-1)
相减得
Tn=9+6/2+6/2^2+.....+6/2^(n-1)-3(2n+1)/2^n
=3+6[1+1/2+1/2^2+.......+1/2^(n-1)]-3(2n+1)/2^n
=3+6[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-3(2n+1)/2^n
=3+12[1-(1/2)^n]-3(2n+1)/2^n
=(15*2^n-6n-15)/2^n